Учился у Иоганна Христиана Киттеля. С 1790 г. городской органист в Гиссене, с 1803 г. там же университетский музикдиректор. С 1806 г. в Дармштадте: кантор и органист городской церкви, позднее придворный органист и руководитель придворного камерного оркестра герцога Гессен-Дармштадтского. Почётный доктор Гиссенского университета (1840).
Основные сочинения Ринка написаны для органа, хотя его наследие включает также вокальную, камерную и клавирную музыку. Наибольшей популярностью пользовались пьесы, собранные в шеститомный сборник «Практическая органная школа» (нем. Praktischen Orgelschule). В сборнике «Choralfreund» Ринк выступил также как собиратель протестантских хоралов XIX столетия.
Среди учеников Ринка, в частности, Фридрих Карл Кюмштедт и Адольф Фридрих Хессе.
