Начал играть на гобое в девятилетнем возрасте. Окончил Среднюю специальную музыкальную школу имени Гнесиных (класс И. Ф. Пушечникова) и Парижскую консерваторию (1999, ученик Мориса Бурга и Жана-Луи Капеззали). В 1998 г. выиграл Международный конкурс исполнителей в Женеве.
С 13-летнего возраста активно концертировал под патронатом Владимира Спивакова. С 1999 г. играл в Роттердамском филармоническом оркестре, с 2005 г. соло-гобой амстердамского Оркестра Концертгебау.
Записал Светские вариации Бенджамина Бриттена (с Алексеем Гориболем), гобойные произведения Роберта Шумана и Клары Шуман (со своим отцом, пианистом Леонидом Огринчуком), концерт Вольфганга Амадея Моцарта, сочинения Никоса Скалкоттаса и Гии Канчели. В 2010 г. стал первым исполнителем концерта для гобоя с оркестром Родиона Щедрина.
Лауреат премии «Виктуар де ля мюзик» (2002) в номинации «Зарубежный исполнитель — открытие года», молодёжной поощрительной премии «Триумф» (2005).
Женат на актрисе Лике Кремер, дочери Гидона Кремера.
Алексей Огринчук является постоянным участником ежегодного международного музыкального фестиваля "Crescendo".
