Окончил Государственный музыкально-педагогический институт им. Гнесиных (класс фортепиано Теодора Гутмана) и Московскую консерваторию (класс органа Леонида Ройзмана). С 1970 г. концертирует в России и в других странах, исполняя широкий круг старинной музыки: в частности, выступал с программами, включающими полные собрания клавесинных произведений Иоганна Себастьяна Баха и Франсуа Куперена, все клавирные сонаты Йозефа Гайдна, записывал сочинения русских композиторов XVIII века. Под редакцией или в переложениях Майкапара издан ряд произведений Баха. Систематически публикует популярные статьи о музыке в газете для учителей «Первое сентября», с 1998 г. выступает как комментатор в программах радио BBC.
В переводе Александра Майкапара опубликованы по-русски книги Ванды Ландовской «О музыке» (1991, 2-е издание 2005), Эрвина Бодки «Интерпретация клавирных произведений Баха» (1993), Уолтера Эмери «Орнаментика Баха» (1996), а также известный справочник Генри Уильяма Саймона «100 великих опер», который Майкапар дополнил приложением «Шедевры русской оперы». Кроме музыковедческой литературы в переводе Майкапара вышел «Словарь сюжетов и символов в искусстве» Джеймса Холла (1996), за которым последовала уже собственная работа Майкапара в этом направлении — популярный компендиум христианских мотивов в западноевропейской иконографии «Новый Завет в искусстве» (1997): по мнению рецензента,
