Изучал литературу и право в Падуанском университете. Занимал небольшие политические должности в Цизальпинской республике, в 1808—1817 гг. был профессором риторики в Миланском университете, затем по политическим причинам был вынужден перебраться в Павию.
Известен преимущественно своим сотрудничеством с миланским оперным театром Ла Скала в 1792—1817 гг. в качестве либреттиста (впрочем, он дебютировал ещё в 1784 г., сочинив либретто для оперы Доменико Чимарозы «Два подложных графа», итал. I due supposti conti). Перу Анелли принадлежит около 40 либретто, преимущественно для комических опер, музыку к которым писали такие композиторы, как Фердинандо Паэр, Бонифацио Азиоли, Николо Дзингарелли, Джованни Пачини, Карло Кочча; Симон Майр помимо двух опер написал на тексты Анелли и две кантаты (все в 1807 году). Наибольшей известности достигли две работы Анелли: «Итальянка в Алжире» (1808), написанная для Луиджи Моска, но пятью годами позже использованная также Джоакино Россини, и «Сэр Маркантонио» (1810), в переработанном виде использованное позднее для либретто оперы Гаэтано Доницетти «Дон Паскуале».
Анелли принадлежат также несколько сочинений в стихах и в прозе, в том числе поэма в терцинах «Торжество милосердия» (итал. Il trionfo della clemenza) на вступление императора Франца Австрийского в Милан (1816).
