В годы Второй мировой войны принимал активное участие в любительском театре Гитлерюгенда, вследствие чего по окончании войны был арестован, однако из-за развившегося у него туберкулёза освобождён. В 1946 г. в туберкулёзной больнице написал своё наиболее известное сочинение — рождественскую песню «Тысяча звёзд — один собор» (нем. Tausend Sterne sind ein Dom).
Затем, однако, Кёлер выздоровел, изучал композицию в Дрезденской Академии музыки и театра у Фиделио Финке и Херберта Виценца, затем музыковедение в Лейпциге. В 1955 г. возглавил лейпцигское окружное отделение Союза композиторов ГДР. В 1957 г. был назначен директором Международной музыкальной библиотеки в Берлине. В 1963—1968 гг. художественный руководитель государственного концерна грамзаписи ГДР VEB Deutsche Schallplatten. В 1968—1980 гг. ректор Дрезденской Высшей школы музыки имени Карла Марии фон Вебера. С 1982 г. председатель Союза композиторов ГДР. В 1983 г. назначен директором Дрезденской оперы, работы по восстановлению которой уже подходили в это время к завершению, однако умер до того, как они всё-таки были завершены.
Награждён Орденом Заслуг перед Отечеством (1972), лауреат Национальной премии ГДР (1979).
