Учился в Центральной музыкальной школе у Анны Артоболевской, брал уроки у Генриха Нейгауза и Марии Юдиной. Окончил Московскую консерваторию, где учился сперва у Льва Оборина, а затем у Льва Наумова. В 1976 г. женился на македонской пианистке Люпке Хаджигеоргиевой и уехал из СССР в Югославию. С 1978 г. преподаёт в Гамбургской Высшей школе музыки. В 1977 г. стал лауреатом Международного конкурса пианистов имени Клары Хаскил, завоёвывал также призы и награды на других международных конкурсах.
Наиболее широкое признание Королёв получил как исполнитель произведений Иоганна Себастьяна Баха: в 17-летнем возрасте он выступил в Москве с концертом, в ходе которого исполнил целиком «Хорошо темперированный клавир». Уже в Германии он осуществил записи «Хорошо темперированного клавира», «Искусства фуги», Гольдберг-вариаций и других произведений Баха, получившие высокую оценку критики и специалистов: Дьёрдь Лигети, в частности, заявил, что если бы ему позволили взять с собой на необитаемый остров только одно музыкальное произведение, то он выбрал бы Баха в исполнении Королёва. Среди других записей Королёва — «Времена года» Чайковского, произведения Гайдна, Шуберта, Дебюсси, Прокофьева, Мессиана, Лигети и др.
Нередко выступает в дуэте с женой (Klavierduo Koroliov).
