В 1846 поступил в т. н. консерватор-класс Большого театра. В том же году был зачислен в оперную труппу Большого театра. Пел партии 2-го тенора, исполнял песни, романсы собственного сочинения.
Участвовал в спектаклях Малого театра, исполняя роли с пением (первый исполнитель роли Яши Гуслина – «Бедность не порок», 1854).
С 1854 - в Александринском театре.
С 1855 выступал в провинции (в Костроме, Н. Новгороде, Пензе и др. городах). Выступал в драмах, операх и опереттах (в т.ч. в собственной «Сон в майскую ночь», к которой он сам сочинил музыку).
Климовский был актёром нового для того времени реалистического направления, уходящего от классической формы с наигранностью эмоций, он усиленно пропагандировал произведения Островского, неоднократно ставил его пьесы в свои бенефисы. Роли: Иван («Барская спесь, или Анютины глазки» Д. Т. Ленского), Мордоплюев («Жених из Ножевой линии» Александра М. Красовского), Митя («Бедность не порок»), Иван («Суд людской - не божий» А. Потехина) и др.
Климовский известен и как композитор. Он - создатель многочисленных романсов, автор известной песни «Хуторок» на слова А. Кольцова. В 1861 на сцене Нижегородского театра была поставлена его оперетта "Сон в майскую ночь".
Значительный интерес представляют записи-дневники Климовского, охватывающие 1839-1860 (хранятся в Театральном музее им. Бахрушина), где он рассказывает о своей дружбе с А.Н. Островским, П.М. Садовским, Т.Г.Шевченко, Л.Л.Леонидовым и др.
Жена – актриса Климовская, Ольга Яковлевна, урождённая Браво.
