Учился в Университете Северной Каролины в Чепел-Хилл. Во время Второй мировой войны служил в армии США. В 1947—1958 гг. главный дирижёр Симфонического оркестра Цинциннати; под руководством Джонсона оркестр стал одним из главных исполнителей новой американской музыки: за 11 лет его руководства было сыграно около 120 премьер. Под руководством Джонсона в 1951 г. были впервые исполнены в США «Песни Гурре» Арнольда Шёнберга. В том же году Джонсон посетил Яна Сибелиуса в Финляндии — следствием этого визита стала, в частности, запись оркестром Цинциннати оратории Сибелиуса «Происхождение огня» с хором Хельсинкского университета. Лауреат Премии Дитсона (1949).
В 1958—1964 гг. Джонсон был профессором и руководителем оркестра в чикагском Северо-Западном университете, в 1964—1967 гг. возглавлял Академию искусств в Интерлокене, с 1967 г. и до смерти был главным дирижёром Нэшвиллского симфонического оркестра.
