Основы музыкального образования получил у себя в городе, в 1868—1873 гг. работал органистом в городских церквах. Затем отправился для обучения в Штутгартскую консерваторию. С 1905 г. преподавал в Консерватории Новой Англии, а с 1912 г. — в Институте музыкального искусства (позднее — Джульярдской школе). Среди его учеников, в частности, Бернард Роджерс и Говард Хансон.
Наиболее важное в наследии Гетшуса — его работы по теории музыки, в том числе «Материал музыкальной композиции» (англ. The Material Used in Musical Composition; 1882), «Уроки музыкальной формы» (англ. Lessons in Musical Form; 1904), «Контрапункт» (англ. Counterpoint; 1930).
