Родился в еврейской купеческой семье, был отправлен отцом в Цюрих для учёбы в медицинском институте, но предпочёл посещать занятия в музыкальной школе Штерна Цюрихской консерватории. Вернулся домой в Хабаровск и с началом революционных событий в России был направлен родственниками в Сан-Франциско, там женился, однако в 1918 году осел в Пекине, где открыл книжный магазин. В 1925—1929 годах композитор находился в Америке, затем вернулся в Китай, на этот раз поселившись в Шанхае и посвятив себя профессиональной композиторской карьере.
За исключением кратковременного обучения в Цюрихе, Авшаломов изучил композицию самостоятельно. Китайская музыка произвела на него очень сильное впечатление, и он пытался адаптировать её ритмы и гармонии к возможностям западного оркестра. Под знаком такого синтеза культур находятся оперы Авшаломова «Куань Инь» (1925), «Сумеречные часы Ян-гуйфэй» (1933), «Великая стена» (1941, поставлена 1945), «Сон Вэй Линь». Авшаломову принадлежат также четыре симфонии, фортепианный, флейтовый, скрипичный концерты и др. Помимо китайской, начиная с 1940 года, Авшаломов включал в свои композиции элементы традиционной индийской музыки и писал музыку на еврейские литургические мотивы (cf. «Four Biblical Tableaux», 1928).
В годы японской оккупации композитор вместе со своей второй женой Татьяной Авшаломовой находился под домашним арестом, затем на протяжении трёх лет был дирижёром Шанхайского симфонического оркестра и в 1947 году перебрался в США. Жил в Лос-Анджелесе и Нью-Йорке.
Усилиями сына Авшаломова в 1990-е гг. начало происходить воскрешение музыки Авшаломова-старшего для внимания публики; несколько дисков с его сочинениями записал, в частности, Московский симфонический оркестр.
