Окончил музыкальную школу-десятилетку Ленинградской консерватории по классу фортепиано Т.Румшевич. Поступил на фортепианный факультет Ленинградской консерватории к профессору П.Серебрякову, продолжил образование на факультете оперно-симфонического дирижирования у профессора И.Мусина.
Как дирижёр Малого театра оперы и балета (ныне Академический театр оперы и балета имени М. П. Мусоргского освоил репертуар (с 1968 по 1993), включающий более 80 спектаклей. Вместе с режиссёром Александром Петровым организовал Государственный детский музыкальный театр «Зазеркалье» (1987), музыкальным руководителем и главным дирижёром которого является поныне. В «Зазеркалье» поставил «Медиум» Менотти, «Любовный напиток» Доницетти (в сезоне 1995—1996 удостоен петербургской театральной премии «Золотой софит»), «Историю солдата» Стравинского, «Ноев ковчег» Бриттена, «Богему» Пуччини, «Порги и Бесс» Гершвина, оперы петербургских композиторов.
Отмечен премией правительства Санкт-Петербурга за развитие театра для детей (1996). Выступает как симфонический дирижёр с оркестрами Петербургской филармонии, Санкт-Петербургским государственным академическим, оркестрами Екатеринбурга, Кишинёва, Минска, Вильнюса, Харькова. Осуществил постановки «Трубадура» Верди в Тбилиси, «Медиума» Менотти в Бостоне и «Золушки» Прокофьева в Афинах. Гастролировал в Японии, Италии, Германии, США и других странах.
В 2005 году П. А. Бубельникову присвоено звание Народного артиста России.
С 2005 года работает в качестве приглашённого дирижёра с труппой Мариинского театра.
В 2009 году был удостоен высшей театральной награды России «Золотая маска» как лучший дирижер оперного спектакля («Золушка» Россини)
