В юности играл на флейте. Окончил Оксфордский университет, в 1760-е гг. путешествовал по Европе — в Риме, в частности, познакомился с Андре Гретри, написавшим для Абингдона концерт для флейты с оркестром. Вернувшись в Англию, принял участие в организации подписных концертов с участием Иоганна Христиана Баха и Карла Фридриха Абеля как ведущих композиторов; считается, что Абингдон в значительной степени субсидировал эти концерты. Считается, что Абингдон сыграл значительную роль в приглашении в Лондон Йозефа Гайдна, с которым в дальнейшем подружился, — как предполагает Музыкальный словарь Гроува, Гайдн благословил Абингдона и на собственные занятия композицией.
Среди сочинений Абингдона преобладают вокальные, особенно песни на собственные слова. Наиболее известное семичастное хоровое произведение — «Представление казни Марии, королевы шотландской» (англ. Representation of the Execution of Mary Queen of Scots in Seven Views, 1790).
