Окончил Венскую консерваторию (1857) у Йозефа Бёма. В 1866—1869 гг. руководил оркестром в парижском Лирическом театре, затем вернулся в Вену и до выхода на пенсию в 1899 г. играл на альте в Венском филармоническом оркестре. В 1869—1880 гг. Бахрих был альтистом Квартета Хельмесбергера, позднее играл также в Квартете Розе. До 1894 г. Бахрих преподавал в Венской консерватории — среди его учеников, в частности, Джордже Энеску.
Определённой известностью пользовались сделанные Бахрихом оркестровые переложения партит Иоганна Себастьяна Баха для скрипки соло (№№ 3 и 6). Собственные сочинения Бахриха — оперы «Мурредин» (1883) и «Хайни фон Штайер» (1884), балет «Сакунтала» (1884) — встретили резкую критику Гуго Вольфа.
