Алексей Сергеевич Турищев родился в 1888 году в Калуге в многодетной семье. С ранних детских лет проявил незаурядные способности к музыке, благодаря чему стал воспитанником Московского (12-го Астраханского гренадерского) полка и определен на обучение в Московскую консерваторию по классу кларнета.
В 1905 году победил в конкурсе на лучшую песню-марш для торжественного приёма, устраиваемого императором Николаем II в честь офицеров и матросов крейсера «Варяг» и канонерской лодки «Кореец», написав музыку к стихотворению Рудольфа Грейнца в переводе Студенской «Врагу не сдаётся наш гордый “Варяг”». (В конкурсе на лучшую песню-марш для встречи героев в Москве. Он сделал инструментовку для духового оркестра и хора и получил право дирижировать первым исполнением «Варяга» на перроне Курского вокзала.)
В 1910 Алексей Турищев окончил Московскую консерваторию. В 1912 становится капельмейстером 177-го Изборского пехотного полка в Пензе, одновременно организовав класс кларнета в Пензенском музыкальном училище.
Алексей Сергеевич Турищев был участником Первой мировой и Гражданской войн.
С января 1918 года Турищев служил в Красной Армии, был капельмейстером 1-го Пензенского советского полка.
В 1918-1957 годах преподавал по классу духовых инструментов в Пензенском музыкальном училище и музыкальной школе (располагавшихся в одном здании). В разное время одновременно сочетал несколько должностей ? был директором училища и музыкальной школы (1925-1935), заведующим учебной частью.
Во время Великой Отечественной войны 4 года опекал эвакуированных в Пензу воспитанников Центральной музыкальной школы при Московской консерватории.
Похоронен в Пензе на Митрофаньевском кладбище.
