Я. Г. Синай родился в семье с богатыми культурными традициями. Его родителями были исследователи в области медицины, а дедом был В. Ф. Каган — один из первых математиков России, работавших в области неевклидовой и дифференциальной геометрии. Обучался на механико-математическом факультете МГУ, который окончил в 1957 году. Ученик А. Н. Колмогорова. Кандидат наук (1960), доктор наук (1964). C 1960 года работал в МГУ, с 1971 — профессор. Также работал старшим (1962), главным (1986) научным сотрудником Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау. С 1993 года — профессор Принстонского университета. Член Американского математического общества.
Основные работы Синая лежат в области как математики, так и математической физики, особенно в тесном переплетении теории вероятностей, теории динамических систем, эргодической теории, и других математических проблем статистической физики. Он в числе первых нашёл возможность вычислять энтропию для широкого класса динамических систем (т. н. «энтропия Колмогорова-Синая»). Большое значение имеют его работы по геодезическим потокам на поверхностях отрицательной кривизны, где он доказал, что сдвиги вдоль траекторий геодезического потока порождают случайные процессы, обладающие наиболее сильными из возможных свойств стохастичности и, среди прочего, удовлетворяющие центральной предельной теореме теории вероятностей.
Среди его учеников наиболее известен Г. А. Маргулис.
Лауреат премии Пуанкаре (2009), международной премии имени Добрушина (2009), премии Вольфа (1996/7). Награждён медалью Больцмана (1986).
В 2009 году избран в иностранные члены Британского королевского общества.
Книги на русском языке
- Синай Я. Г. Теория фазовых переходов: строгие результаты - М.: Наука, 1980
- Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория - М.: Наука, 1980
- Синай Я. Г. Курс теории вероятностей. Ч.1,Ч.2 - М.: Изд-во МГУ, 1985
