Родился 1 декабря 1885 года в деревне Бахви в области Гурия. Окончил реальное училище, в 1907—1912 годах обучался в Мюнхенской академии художеств. В 1916 году вернулся в Грузию. Участвовал в собирании коллекций произведений грузинских художников, в том числе Нико Пиросмани, реставрации старинных церквей, работал театральным художником (в этой области считается пионером), участвовал в съёмках первого грузинского художественного фильма «Кристина» (груз. ????????, 1916—1918). Участвовал в основании Грузинской национальной галереи искусств (1920), Грузинской академии искусств (1922). Был членом комитета по охране культурного наследия.
В 1937 году выступил против проекта Лаврентия Берии, который в то время был секретарём ЦК КП(б) Грузии, по сносу церкви Успения в Метехи. Получил от Берии предложение стать директором музея, в котором находилась бы масштабная копия церкви, в обмен на отказ от выступлений против её сноса, но не принял его. Вскоре был арестован и предположительно расстрелян (точная дата смерти неизвестна), однако церковь так и не была снесена. Архив Шеварднадзе сумели спасти художница Кетеван Магалашвили и двоюродная сестра Дмитрия, Кетеван Челидзе.
Дмитрий Шеварднадзе — родственник (двоюродный брат отца) бывшего президента Грузии Эдуарда Шеварднадзе.
