Получил начальное музыкальное образование в Ереване у В. Г. Кургиняна, в возрасте 11 лет был удостоен первой премии на конкурсе «Маленькая скрипка» и дебютировал как солист с Государственным филармоническим оркестром Армянской ССР. В 1981 году получил первую премию и золотую медаль VI Закавказского конкурса музыкантов-исполнителей. Учился в Ереванской консерватории у Грачьи Богданяна, а с 1982 года в Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского (класс Б. В. Беленького), затем окончил также аспирантуру консерватории под руководством Виктора Третьякова. Лауреат нескольких международных конкурсов.
В 1989 году по приглашению Иегуди Менухина занял должность его ассистента в Международной музыкальной академии Менухина в Швейцарии, где начал свою преподавательскую карьеру. Выступал совместно с Менухиным в разных странах Европы, Северной и Южной Америки. Как ансамблист в 1994—1996 гг. выступал в составе трио с пианисткой Анаит Нерсесян и альтистом Яковом Папяном.
С 1991 года Грачья Арутюнян живёт и работает в Германии. В 1993 г. по приглашению Серджиу Челибидаке Арутюнян принял участие в конкурсе на место концертмейстера Мюнхенского филармонического оркестра и выиграл конкурс, в котором участвовало 128 претендентов. Затем Арутюнян выиграл также и конкурс на место концертмейстера Берлинского филармонического оркестра — как утверждается, впервые за 115-летнюю историю оркестра он был избран единогласно. Оркестровую карьеру Арутюняна завершил пост первого концертмейстера Штутгартского филармонического оркестра, который он занял в 1997 году. Затем он отказался от работы в оркестрах, чтобы уделять больше внимания педагогической деятельности.
В 1995 году Арутюнян открыл в Германии свою первую музыкальную школу — Crescendo Violinschule f?r professionelle Musiker с отделениями в Берлине, Мюнхене, Кёльне и Нойштадте. С 1999 г. даёт в Нойштадте ежегодные международные мастер-классы. Одновременно с 2000 г. Грачья Арутюнян — профессор Ереванской государственной консерватории им. Комитаса. С 2005 года Арутюнян работает над технологиями для своего новейшего проекта — Международной музыкальной академии, в которой обучение ведется исключительно по интернету.
