В 1711 г. до н. э. воспользовавшись смертью Самсу-илуны, эламский царь Кутир-Нуххунте I напал на Месопотамию и вывез в Сузы богатую добычу, в частности статую месопотамской богини плодородия и победы Нанайи. В Месопотамию её вернул только ассирийский царь Ашшурбанапал через много лет в 646 до н. э.
Вообще о времени правления Аби-ешу мало что известно. Список его датировочных формул, почти единственный источник сведений о его правлении, сообщает об очистке и обновлении каналов и сооружении на них новых городков, об обычных дарениях в храмы, провозглашении «справедливости» и т. д.
Аби-ешу продолжал вести войну с царём Приморья Илиманом, находящимся в союзе с Эламом, но безрезультатно. Упоминается также война с касситами. Но совершенно не возможно указать на какую территорию распространялась власть Аби-ешу.
Правил Аби-ешу 28 лет.
