Священник, епископ Спрингфилда, архиепископ Вашингтона и кардинал
Образование получил в Кенрикской семинарии в Сент-Луисе, а также в Ангеликуме в Риме. Посвящён в священника 12 мая 1951 года, в церкви Святого Петра, в Канзас-сити, епископом этого диоцеза Эдвином Винсентом О'Хара. В 1951—1956 годы — пасторская работа в епархии Канзаса, а также преподавание в католическом колледже Святой Терезы. В 1958—1962 годы будущий кардинал Баум был нотариусом церковного трибунала, секретарём литургической епархиальной комиссии, экзаменатором духовенства. Тайный камергер с 1961, что дало право Бауму титуловаться монсеньором. В 1962—1965 он служил вице-канцлером епархии Канзаса в США, а также был экспертом на Втором Ватиканском соборе. Баум позже стал канцлером этой епархии перед своим назначением на пост епископа Спрингфилда 18 февраля 1970 года.
Рукоположен в епископы 6 апреля 1970 года архиепископом Сент-Луиса кардиналом Джоном Джозефом Карберри.
Тремя годами позднее папа римский Павел VI назначил его архиепископом Вашингтона, округ Колумбия (его преемником в епархии Спрингфилда стал будущий кардинал Бернард Лоу), а на консистории от 24 мая 1976 года Баум был назван кардиналом. Уильям Баум был архиепископом Вашингтона до 18 марта 1980 года.
Служение в курии
Папа римский Иоанн Павел II продолжил продвижение кардинала Баума в курии. В 1980 году он был призван на работу в Ватикан как префект Конгрегации католического образования, великий канцлер Папского Григорианского университета и великий канцлер Папского института христианской археологии. В 1990 году Баум стал великим пенитенциарием Церкви, вместо руководства и наблюдения за всеми католическими семинариями в мире возглавив Священную пенитенциарию — ведомство, отвечающее за отпущение грехов.
Кардинал Баум в последнее время часто болеет, страдает от ухудшения зрения. Его отставка с поста великого пенитенциария была принята через день после его 75-летия в 2001 году, но он по-прежнему остался настолько активным членом курии, насколько позволяет его здоровье, приняв участие, например, во встрече с американскими кардиналами по поводу т. н. педофильского скандала в 2003 году.
Старейший американский кардинал
8 марта 2011 года, кардинал Баум превзошёл кардинала Джеймса Гиббонса — архиепископа Балтимора по нахождению в сане кардинала, и тем самым стал самым старейшим по возведению в сан американским кардиналом в истории. 24 мая 2011 года Баум отметил свое 35-летие пребывания в сане.
Участник трёх конклавов: 25-26 августа 1978 года, избравшего Иоанна Павла I, и 14-16 октября 1978 года, на котором понтификом был избран Иоанн Павел II. Баум был также и одним из кардиналов-избирателей, которые участвовали в папском Конклаве 2005 года, избравшем папой римским Бенедикта XVI. На Конклаве он был старшим по возведению в сан кардиналом.
Наряду с Бенедиктом XVI (тогда кардиналом Йозефом Ратцингером) и филиппинским кардиналом Хайме Сином, он был одним из трёх кардиналов, возведённых в сан ещё папой Павлом VI, которые сохранили право голоса на последнем Конклаве. А с избранием Ратцингера папой римским 19 апреля 2005 года и смертью кардинала Сина 21 июня 2005 года, Баум оставался единственным кардиналом, возведённым в сан папой Павлом VI, который ещё мог голосовать на папском Конклаве.
Однако 21 ноября 2006 кардиналу Бауму исполнилось 80 лет, и в соответствии с принятыми в Ватикане правилами, он потерял право участвовать в Конклавах. После этого, все кардиналы, имеющие право голоса на Конклаве, возведены в сан либо папой Иоанном Павлом II, либо папой Бенедиктом XVI.
Наряду с кардиналом Левадой, кардинал Баум — один из влиятельнейших американских кардиналов в Римской курии.
