Клубная карьера
Родился в Таллине, там же рос и начинал заниматься футболом. Начал свою карьеру в команде «Таллинна Лывид» (Tallinna L?vid, что в переводе с эстонского значит «таллинские львы»), затем перешёл в таллинский «Спорт». После недолгого пребывания в финской команде «Куопион Паллосеура» (провёл за неё лишь девять игр) вернулся в Эстонию, став игроком таллинской «Флоры». Отыграв за «Флору» один сезон в роли основного вратаря, затем перешёл в швейцарский «Виль», но вскоре был перепродан в английский «Портсмут», где не смог закрепиться в составе, отыграв лишь семь игр, после чего портсмутцы сдали Поома в аренду в его бывший клуб, таллинскую «Флору».
В 1997 году Поом перешёл из «Флоры» в английский «Дерби Каунти», игравший тогда в Премьер-лиге. В этом клубе он провёл последующие 5 лет, отыграв 146 матчей. Дебютировал за «Дерби» 5 апреля 1997 г. в гостевом матче на стадионе «Олд Траффорд» против «Манчестер Юнайтед» (счёт 3:2 в пользу «Дерби»). Поом успешно закрепился в основном составе «Дерби Каунти», став одним из лидеров клуба наряду с форвардом Пауло Ванчопе. «Дерби», в очередной для себя раз вышедший в высший эшелон английского футбола, показывал там неплохие результаты: 12-е место в дебютном сезоне 1996/97, 9-е в сезоне 1997/98 и 8-е в сезоне 1998/99. Однако затем этим относительным успехам пришёл конец, и «Дерби» превратился из середняка в аутсайдера лиги, дважды команда спасалась от вылета (16-е и 17-е места), но третий сезон борьбы за выживание — 2001/02 — оказался роковым: провалив концовку первенства (семь поражений в восьми играх), «Дерби» занял 19-е место и отправился в первую лигу.
Поом начал сезон 2002/03 за «Дерби» в Первом дивизионе, а в ноябре 2002 года перешёл на правах аренды в клуб-аутсайдер Премьер-лиги «Сандерленд» (последний матч за «Дерби» был сыгран им 2 ноября в гостях против «Шеффилд Уэнсдей», «Дерби» победил 3:1), в январе 2003 года «Сандерленд» выкупил у «Дерби» контракт Поома за ? 2,5 млн. В «Сандерленде» эстонский вратарь несколько месяцев просидел на скамье запасных, дебютировав в чемпионате Премьер-лиги лишь 12 апреля 2003 г. в гостевом матче против «Бирмингем Сити», проигранном гостями 0:2. По итогам сезона 2002/03 «Сандерленд» вылетел из Премьер-лиги, заняв в ней последнее место. 20 сентября 2003 в гостевом матче Чемпионшипа против «Дерби Каунти», своего бывшего клуба, Март Поом на последних минутах матча сравнял счёт (итог 1:1), придя в чужую штрафную на розыгрыш углового и забив головой в прыжке свой первый и пока единственный в карьере гол. Именно после этой игры Поом получил прозвище «Пооминатор», по аналогии с Терминатором, так назвал его комментатор матча. Всего Поом отыграл за «Сандерленд» 58 матчей за три сезона. По итогам сезона 2004/05 «Сандерленд» под руководством Мика Маккарти выиграл Чемпионат Футбольной лиги.
В августе 2005 года Поом перешёл из «Сандерленда» в лондонский «Арсенал» на правах аренды, а в январе 2006 года «канониры» выкупили его контракт. В «Арсенале» Поом был третьим вратарём после Йенса Леманна и Мануэля Альмунии и за полтора года провёл лишь две официальных игры: 8 ноября 2006 в Кубке лиги против «Эвертона» на стадионе «Гудисон Парк», тогда он в перерыве заменил получившего травму Альмунию, тот матч «Арсенал» выиграл 1:0; а 13 мая 2007 Поом вышел на поле в гостевом матче последнего тура Премьер-Лиги против «Портсмута», игра завершилась вничью 0:0. Интересно, что несмотря на то, что Поом ни разу не вышел на поле в матчах Лиги чемпионов 2005/06, он всё же получил серебряную медаль как финалист турнира, став таким образом первым эстонским футболистом, получившим еврокубковую медаль.