Детство
Родился в с. Перелоги Юрьевского уезда Владимирской губернии (ныне Юрьев-Польский район Владимирской области) в семье крестьянина.
Учёба
В 1930 году закончил сельскую школу и правлением колхоза направлен во Владимирскую школу ФЗО автотранса.
Весной 1934 года получил семилетнее образование и специальность слесаря-автоэлектроремонтника. В том же году по рекомендации райкома комсомола направлен во 2-ю Тамбовскую школу гражданского воздушного флота, по окончании которой получил среднее образование, специальность пилота ГВФ и воинское звание «младший лейтенант запаса». В 1938-40 годах работал лётчиком-инструктором, командиром звена и начальником отряда во Владимирском и Кольчугинском аэроклубах.
В апреле 1940 года Ивановский областной отдел Осоавиахима командировал А. Е. Максимова на курсы усовершенствования Центрального клуба имени В. П. Чкалова по боевым истребителям «И-16», «И-15». В декабре 1940 года курсы были преобразованы в Астафьевскую военно-авиационную школу, а курсанты призваны в Красную Армию.
В августе сорок первого года А. Е. Максимов получил назначение в 8 запасной авиаполк Приволжского военного округа для переучивания на истребитель «Як-1».
В годы войны
В Великую Отечественную войну исполнял должность заместителя и командира эскадрильи, помощника командира истребительного авиационного полка по воздушно-стрелковой подготовке на Западном, Степном, 2 и 1 Украинском фронтах. Участвовал в Московской и Курской битвах, Белорусской, Ясско—Кишинёвской, Висло-Одерской, Берлинской и Пражской наступательных операциях.
За время войны совершил 412 боевых вылетов, провёл более 60 воздушных боёв, сбил 22 самолёта противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года майору А. Е. Максимову присвоено звание Героя Советского Союза. Первую боевую победу одержал 19 февраля 1942 года. Один вылетел на перехват самолётов противника в район Гжатска (ныне г. Гагарин). Вступил в бой с пятью немецкими бомбардировщиками «Ю-88», которые были на подходе к цели бомбометания, два из них сбил, остальные, побросав хаотично бомбы, развернулись в обратном направлении.
Эпизоды боевой жизни
5 июля 1943 года был ведущим 10 истребителей «Як-1» при сопровождении 12 штурмовиков «Ил-2». На встречном курсе в районе Тамаровка вступили в бой всей группой с 30 немецкими «Ю-87» и 12 истребителями «Ме-109», расстроили боевой порядок полёта и не позволили прицельно сбросить бомбы на расположение наших войск. Лично в воздушном бою сбил два «Ю-87». Был тяжело ранен, но самолёт привёл и посадил на своём аэродроме.
3 октября 1943 года сопровождал два штурмовика «Ил-2» на разведку. На станции Верховка было обнаружено 12 воинских эшелонов с техникой, личным составом и боеприпасами. За несколько заходов советские лётчики уничтожили 10 эшелонов противника. В течение нескольких часов, на удалении десятков километров были слышны разрывы снарядов и видно зарево пожара.
11 декабря 1943 года во главе четырёх истребителей «Як-1» сопровождал 6 штурмовиков «Ил-2» на бомбёжку скопления противника. В районе Ново-Михайловка встретили до 45 бомбардировщиков «Ю-87» в сопровождении 12 истребителей «Ме-109». Договорившись по радио с командиром штурмовиков, внезапно напали на немецкую армаду. В воздушном бою сбили 4 бомбардировщика и 2 истребителя. На личный счёт А. Е. Максимова было записано по одному бомбардировщику и истребителю.
Начальник штаба штурмового полка так отзывался о работе истребителей группы А. Е. Максимова: «Гвардии майор Максимов неоднократно своей группой Як-1 сопровождал „Ил-2“ 143 штурмового авиаполка на выполнение боевых заданий по разгрому войск и техники противника от Северского Донца до р. Прут и Вислы. Прикрытие всегда было надёжным. Над целью и в зоне огня лётчики Максимова А. Е. умело маневрировали и не отрывались от строя штурмовиков. 1 февраля 1944 года семь „Ил-2“ вылетели на штурмовку 40 танков противника в районе Лишнякова, Толмач. Их сопровождали четыре „Як-1“ Максимова. В 13 час 30 мин на высоте 1100 м в районе Толмач 12 истребителей противника прикрывали танки. Заметив наших штурмовиков, истребители противника пытались атаковать „Ил-2“, но были встречены смелым заградительным огнём наших истребителей. Все атаки противника были отбиты, штурмовики отлично выполнили боевое задание и без потерь вернулись на аэродром. Таких примеров хорошей работы группы истребителей А. Е. Максимова можно привести много. Лётчики — штурмовики всегда довольны работой истребителей прикрытия».
