Константин Коник родился в рабочей семье, его отец был извозчиком. После обучения в Тартуской гимназии, Константин Коник в 1873 году окончил медицинский факультет Тартуского университета и в 1903 году защитил степень доктора наук в Одесском университете.
8 марта 1920 года Коник вошел в историю Тартуского университета, проведя первую лекцию по медицине на эстонском языке. Университет Тарту был основан как эстонское учреждение только в 1919 году, прежде будучи немецким университетом, где использовался только немецкий, а с 1880-90-х годов — русский язык.
