Эске Брун родился в Ольборге (Дания). Его отец умер, когда ему было 15 лет, и семья переехала в Ордруп (к северу от Копенгагена). В 1929 году он получил диплом юриста в Университете Копенгагена.
В 1932 году Эске Брун стал исполняющим обязанности губернатора Северной Гренландии, а с 1939 года — губернатором Северной Гренландии. Когда началась Вторая мировая война, и из-за германской оккупации Дании связь с Копенгагеном была прервана, Брун и его коллега Аксель Сване, опираясь на закон об управлении Гренландией от 1925 года, взяли власть на острове в свои руки. С помощью датского посла в США Генрика Кауфманна они установили линии снабжения из США и Канады. С 1941 года и до конца войны Аксель Сване находился в США, организуя снабжение Гренландии, а Эске Брун взял на себя обязанности губернатора и Южной Гренландии; вся администрация была сосредоточена в Готхабе.
После войны, с 1947 года Эске Брун стал вице-президентом Администрации Гренландии, в 1949 — президентом Гренландии. Он продолжал работать на высших административных должностях вплоть до добровольной отставки в 1964 году.
