Образование
Родился в дворянской семье в Одессе. Род Брайкевичей внесен в 3-ю часть родословной книги Черниговского дворянства. В 1896 г. окончил Институт корпуса инженеров путей сообщения в Санкт-Петербурге. Один из лучших выпускников.
На государственной службе
М. В. Брайкевич спроектировал и построил портовые сооружения в Либаве, а также дредноут на Николаевской судостроительной верфи.
В 1908 году акционерное общество Ейской железной дороги приступило к постройке 142-х километровой магистрали, которая должна была обеспечить подвоз зерна в Ейский порт и связать город с остальной Россией. Городской голова В. В. Ненашев, благодаря энергии которого этот проект смог стать реальностью, пригласил М. В. Брайкевича (уже известного тогда инженера) в качестве подрядчика. Благодаря такому руководителю строительство дороги велось рекордно быстрыми темпами. Торжественное открытие дороги состоялось 11 июля 1911 г.
Состоял в кадетской партии (партии «Народной свободы»), но руководящих постов не занимал.
С 1914 г. — председатель Одесского отделения Императорского Русского технического общества. Одесского военно-промышленного комитета, вице-президент Одесского общества изящных искусств. Собрал коллекцию картин российских художников, известную как в России, так и за рубежом.
В 1915—1917 гг. состоял в Объединенном всероссийском земском и городском союзе (Земгор), участвуя в оказании помощи раненным воинам.
В связи с беспорядками в городе и арестом городского головы Б. А. Пеликана, в марте 1917 г. министр внутренних дел утвердил М. В. Брайкевича в должности городского головы Одессы.
Брайкевич взял на себя ответственность за городское хозяйство, которое было расстроено войной и революцией. Ему было поручено организовать выборы в городскую Думу.
Первое заседание новой Думы состоялось 23 августа, его открыл городской голова Брайкевич. Обращаясь к присутствующим, он подчеркнул, что «со времени февральский событий сделано много и что не будь „Общественного комитета“ и Совета рабочих депутатов, улицы были бы залиты кровью. В качестве межпартийной организации „Общественный комитет“ занимался ведением сложного городского хозяйства. Так, на момент создания „Общественного комитета“ в городской кассе все суммы исчислялись в 32 тыс. руб., а в настоящее время в городской кассе 2 млн. 550 тыс. руб.» В заключение Брайкевич сказал: «„Общественный комитет“ выполнив свою миссию, уступает место демократически всенародно избранной городской Думе». После его слов приступили к избранию городского головы.
В октябре 1917 г. — назначен товарищем министра торговли, он оставляет в Одессе целый ряд постов — председателя Одесского областного военно-промышленного комитета, председателя совещания по топливу, комиссара по морским перевозкам. Подал в отставку с поста товарища министра торговли в знак протеста против политики своего непосредственного начальника — министра С. Н. Прокоповича, предусматривавшей свертывание либералных реформ в экономике, введение жестких мер во взаимоотношениях между городом и деревней, промышленностью и сельским хозяйством.
14—23 ноября 1918 г. участвовал в политическом совещании в Яссах, где русскими антибольшевисткими силами была сделана безуспешная попытка добиться помощи от держав Согласия.
17 декабря 1918 г. Брайкевича вновь избирали городским головой Одессы. Но на этой должности он прослужил недолго, так как Одесса была эвакуирована в начале апреля 1919 г.
Эмиграция
В 1919 г. М. В. Брайкевич с семьей переехал в Батуми и в 1920 г. эмигрировал в Англию.
Член Русского общества в Англии по помощи голодающим в России. Член Российского торгово-промышленного союза в Париже. Член Общества русских инженеров в Париже. Почетный член Союза русских студентов в Англии и Союза русских студентов в Германии. Сотрудничал с «Союзом представителей русской промышленности и торговли» в Лондоне.
