Родился 17 апреля 1919 года в селе Паланочка ныне Маньковского района Черкасской области Украины в семье рабочего. Учился в Киевском финансово-экономическом техникуме, работал токарем на заводе «Большевик».
В Красной Армии с 1939 года. Участник советско-финской войны 1939—1940 годов. В 1941 году окончил Гомельское противотанковое артиллерийское училище. В боях Великой Отечественной войны с 1942 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
Командир батареи 369-го артиллерийского полка (162-я стрелковая дивизия, 65-я армия, Центральный фронт) кандидат в члены ВКП(б) старший лейтенант Степан Богайчук в районе города Севск ныне Брянской области 30 августа 1943 года выдвинул вверенную ему батарею для стрельбы прямой наводкой и, подпустив поближе вражеские цепи, огнём в упор уничтожал гитлеровцев.
Когда кончились снаряды, воины-артиллеристы под командованием старшего лейтенанта Богайчука С.Р. взялись за карабины и гранаты, и в рукопашной схватке отстояли позицию.
Командир батареи получил тяжёлое ранение, но поля боя не покинул.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 ноября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему лейтенанту Богайчуку Степану Романовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1657).
С 1946 майор Богайчук С.Р. — в запасе. Живёт в столице Украины — городе-герое Киеве.
Награждён орденом Ленина, орденами Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени, медалями.
