Карьеру футболиста Бамба начал во французском клубе «Пари Сен-Жермен», но закрепиться в составе парижан не смог и в 2006 году уехал в Шотландию, где стал игроком «Данфермлин Атлетик». Два года спустя перебрался в стан эдинбургского «Хайберниана». В начале 2011 года подписал контракт с английским клубом «Лестер Сити».
С 2008 года выступает за различные сборные Кот-д’Ивуара, участник футбольного турнира Олимпийских игр 2008 года, Кубка африканских наций 2010 и 2012. Бамба был в составе ивуарийцев на чемпионате мира 2010, однако не провёл на этом турнире ни одного матча.
Клубная карьера
«Пари Сен-Жермен»
Футбольное образование Сол получил во французском клубе «Пари Сен-Жермен», в Академию которого он поступил в 14-летнем возрасте. Неплохо показав себя за юношей и дубль «ПСЖ», в 2004 году Бамба подписал с парижанами свой первый профессиональный контракт. Однако пробиться в основной состав клуба ивуарийцу не удалось — за два года, проведённых в первой команде, он сыграл всего один матч. К тому же бывший в то время главным тренером парижан, Вахид Халилходжич, в одном из интервью заявил, что не видит Бамба в «Пари Сен-Жермене» и посоветовал ему сменить команду.
«Данфермлин Атлетик»
В июле 2006 года, успешно пройдя просмотр в клубе «Данфермлин Атлетик», Сол подписал с шотландцами 2-летнее соглашение о сотрудничестве. Впоследствии бывший наставник «Атлетик», Джим Лишман, признавался, что намеревался приобрести для своей команды другого игрока из французского чемпионата, однако после того, как переговоры по нему провалились, агент ивуарийца уговорил главного тренера просмотреть Бамба. Сол смог быстро убедить шотландского специалиста в целесообразности своего перехода в «Данфермлин», выдав блестящую игру в товарищеской встрече против «Селтика», в которой он «наглухо» закрыл валлийского нападающего «кельтов» Джона Хартсона. В следующем выставочном поединке, с испанской «Осасуной», Бамба, выйдя на замену, вновь показал свою нужность шотландцам — несколько раз спасая свою команду от верного гола.
За свою игру в сезоне 2006/07 Сол удостоился самых лестных отзывов от британских болельщиков и футбольных специалистов. Во многом благодаря отличной игре защитных порядков «Атлетик» во главе с ивуарийцем «Данфермлин» смог дойти до финала Кубка страны, где однако проиграл «Селтику» со счётом 0:1. Но даже это не спасло команду Бамба от вылета из Высшего дивизиона Шотландии в том же году.
В межсезонье, несмотря на большое количество предложений от клубов английской и шотландской Премьер-лиг, Сол продемонстрировал преданность своему клубу, подписав с «Атлетик» новый 2-летний контракт. По мнению многих специалистов это было большой ошибкой ивуарийца, который словно поддавшись унылому настроению в команде, провёл сезон более чем средне.
В июле 2008 года Бамба отправился в Англию на просмотр в клуб «Уотфорд», сыграл в выставочном матче «жёлтой армии» против «Борхэм Вуд». Главный тренер хартфордширской команды, Джим Макинтайр, остался доволен ивуарийцем и выразил надежду, что англичане смогут договориться с «Данфермлином» о трансфере Сола в свои ряды. Однако, когда сделка была уже практически свершившимся фактом, «Уотфорд» по неизвестным причинам отказался приобретать Бамба у «Атлетик».
В августе 2008 года «Данфермлин» принял предложения шотландских клубов, «Хайберниана» и «Мотеруэлла», которые предложили одинаковую сумму, 50 тысяч фунтов стерлингов, за приобретение прав на ивуарийца. В официальном пресс-релизе «Атлетик» говорилось, что игрок теперь сам должен решить, где хочет играть.