Воспитанник заслуженного тренера СССР Владимира Юркова.
Звание гроссмейстера Александр Морозевич получил в 1993 году. В 1993 году на турнире по кубковой системе в Тилбурге, Морозевич победил Майкла Адамса — 2:0.
Морозевич побеждал на турнирах в Алуште в 1993 и 1994 годах. Первым большим успехом Морозевича был выигрыш турнира Ллойдс-Банк (Lloyds Bank) в Лондоне в 1994 году, где он набрал 9? очков из 10 возможных.
На шахматной олимпиаде 1994 года в Москве Морозевич играл за вторую команду России и, вместе с командой, завоевал третье место.
В 1994 и 1998 годах Морозевич выигрывал турнир в Памплоне.
С 1995 года у Морозевича был спад в игре и его рейтинг упал до 2590. Но с 1998 года он преодолел спад и начал новое восхождение в шахматную элиту. В 1998 году Морозевич выиграл сильный турнир в Кишинёве (8? из 9) с преимуществом в три очка перед занявшими второе место гроссмейстерами Виорелом Бологаном и Константином Сакаевым.
В 1998 году в Санкт-Петербурге Александр Морозевич выиграл звание чемпиона России по шахматам, опередив предыдущего чемпиона Петра Свидлера. В это же время он разделил с Вадимом Звягинцевым первое место на кубке России. В конце 1998 года Морозевич (+6-0=4) в составе команды России получил золотую медаль за победу на шахматной олимпиаде в Ереване. Благодаря этим успехам рейтинг Морозевича вырос до 2723, и он занимал пятое место в рейтинге ФИДЕ.
С 1999 года Александр Морозевич постоянно играет в элитных шахматных турнирах.
Он дважды выиграл турниры в Биле, в 2003 году (8 очков из 10) и 2004 году (7? из 10).
Морозевич — один из сильнейших шахматистов по игре вслепую. Он выиграл турниры вслепую в Монте-Карло в 2002 году и 2004 годах, а 2003 году был вторым, после Владимира Крамника. Показательные турниры в Монте-Карло состоят из двух частей: турнир вслепую и турнир по быстрым шахматам. В комбинации (вслепую + быстрые шахматы) Морозевич в 2002 году занял первое место (15 из 22), в 2003 — второе место (13? из 22), а в 2004 году поделил первое место с Крамником (14? из 22).
Морозевич постоянно и успешно играет за команду России на шахматных олимпиадах. На олимпиаде 2000 года в Стамбуле, он набрал 7? очков из 10, играя на второй доске, а на олимпиаде 2002 года в Бледе — 7 из 11.
В октябре 2005 года Александр Морозевич в очередной раз доказал, что является одним из сильнейших шахматистов планеты, заняв 4 место на чемпионате мира в Сан Луисе. Через месяц победная партия Морозевича против китайца Ни Хуа принесла сборной России золотую медаль на командном чемпионате мира в Беэр-Шеве.
2008 год был сверхудачным для Морозевича. Так, в апреле 2008 года Александр имел 3-й рейтинг ФИДЕ — 2774, хотя ещё в октябре 2007-го он был только шестым. Уже в июле 2008 Морозевич стал российским гроссмейстером номер 1 и вторым в мире, догнав и обогнав Владимира Крамника.
В 2010 году игра Морозевича претерпела серьёзный спад, он отказался принимать участие в Шахматной олимпиаде 2010 в Ханты-Мансийске.
В 2011 году результаты Александра на турнире в Биле и в суперфинале чемпионата России показывают, что очередной спад преодолён. В рейтинг-листе 100 сильнейших шахматистов планеты на январь 2012 года Александр занимает 9-ю строчку с рейтингом 2763.
