На Кубке мира 2004—2005 дважды занимал 6-е место (на этапах в Кортина-д’Ампеццо и Винтерберге), заняв в общем зачете четверок 8 место (13-е место в двойках). В следующем сезоне Янис поднялся на 10-е место в зачёте экипажей двоек, но ухудшил показатели в четверках — 13-е место. В 2007 году Мининс вплотную приблизился к первой тройке, заняв 4-е место, а в следующих двух сезонах занимал 3-е места (в сезоне 2008—2009 поделил его с экипажем Андре Ланге).
В 2009 году был признан лучшим спортсменом года в Латвии.
Мининс участвовал в Олимпиаде 2006 года в Турине. Его экипаж двоек занял 6-е место, четверок — 10-е. Олимпиаду-2010 в Ванкувере Мининс пропустил из-за аппендицита.
