Окончил Московский институт иностранных языков имени Мориса Тореза (1955). Переводил широкий круг испаноязычных поэтов, начиная с Луиса де Гонгоры и Франсиско Кеведо до поэтов XX века, не только испанских, но и латиноамериканских, филиппинских и др. Автор ряда собственных стихотворных сборников. Широкой известностью пользуется рок-опера «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты» на либретто Грушко по мотивам Пабло Неруды. Некоторые стихи Грушко написаны по-испански (в частности, ему принадлежат испанские песни в советском кинофильме «Всадник без головы»).
С 2000-х гг. живёт в Бостоне, США.
