Чемпион России среди юношей до 14 лет 1998 и 1999 годов.
Победитель Всемирной детской шахматной Олимпиады 2000 года.
В 2001 году Алексеев занял второе место в чемпионате Санкт-Петербурга и выиграл турнир в Тель-Авиве. В 2002 году Алексеев победил в мемориале Александра Петрова и в «Хооговен-опен». В 2002 году Алексеев получил звание Гроссмейстер.
В декабре 2006 года Евгений Алексеев завоевал звание Чемпиона России. Суперфинал 59 Чемпионата России состоялся в Москве с 3 по 15 декабря 2006 года. Евгений Алексеев и Дмитрий Яковенко набрали по 7,5 очков. Для определения Чемпиона России Алексеев и Яковенко сыграли между собой две партии в быстрые шахматы. Первая партия закончилась вничью, а во второй победу одержал Евгений Алексеев и он стал Чемпионом России по шахматам.
В феврале 2007 года Евгений Алексеев, набрав 7 очков из 9 возможных, выиграл представительный традиционный турнир «Аэрофлот-опен 2007». Выиграв этот турнир, Евгений Алексеев получил право сыграть в супертурнире в Дортмунде (Sparkassen Chess Meeting 2007), в котором поделил второе-четвёртое места.
На январь 2010 года Алексеев имел рейтинг — 2703, это 10-й рейтинг среди шахматистов России и 34-й в мире.
