Евдокс Кнідський: биография

У сучасній формулюванні, це означає, що міжa: bіc: dне можна вставити раціональне число.

Далі Евдокс акуратно виводить властивості відносин: транзитивність, впорядкованість і т. д.

Класична теорія Дедекінда для побудови дійсних чисел вражаюче схожа на виклад Евдокса. Відповідність між ними встановлюється так: нехай задані дві величини Евдокса a, b; дріб m / n віднесемо до класу A, якщоma>nb, інакше - до класу B. Тоді класи A і B визначають Дедекінда перетин поля раціональних чисел Q. Залишилося ототожнити відношення по Евдоксb: aз цим Дедекінда числом.

Відзначимо, однак, що у Евдокса відсутній аналог аксіоми безперервності, і нізвідки не випливає, що будь-яке перетин Q визначає речовий число.

Метод вичерпання

Це свого роду античний аналіз криволінійних фігур. Обгрунтування цього методу не спирається на актуальні нескінченно малі, але неявно включає поняття межі. Назва «метод вичерпування» запропонував в 1647 році Грегуар де Сен-Венсан (фр.Gr?goire de Saint-Vincent, 1584-1667), в античні часи у методу не було спеціальної назви.

Метод полягав в наступному: для знаходження площі (або об'єму) деякої фігури в цю фігуру вписувалася монотонна послідовність інших фігур і доводилося, що їх площі (обсяги) необмежено наближаються до площі (обсягу) шуканої фігури. Потім обчислювався межа послідовності площ (обсягів), для чого висувалася гіпотеза, що він дорівнює деякому A і доводилося, що зворотне призводить до протиріччя. Оскільки загальної теорії меж не було (греки уникали поняття нескінченності), всі ці кроки, включаючи обгрунтування єдиності межі, повторювалися для кожного завдання.

У такій формі метод вичерпання добре вписувався в строго дедуктивне побудова античної математики, проте мав кілька суттєвих недоліків. По-перше, він був виключно громіздким. По-друге, не було ніякого загального методу для обчислення граничного значення A; Архімед, наприклад, нерідко виводив його з механічних міркувань або просто інтуїтивно вгадував. Нарешті, цей метод не придатний для знаходження площ нескінченних фігур.

За допомогою методу вичерпування Евдокс суворо довів ряд вже відомих в ті роки відкриттів (площа кола, об'єм піраміди і конуса).

Найбільш плідним цей метод став у руках видатного послідовника Евдокса, Архімеда, який зміг його значно удосконалити і віртуозно застосовував для багатьох нових відкриттів. У середні століття європейські математики також застосовували метод вичерпання, поки він не був витіснений спочатку більш потужним і технологічним методом неподільних, а потім - математичним аналізом.