Анрі Пуанкаре: биография
Пуанкаре багато займався також диференціальними рівняннями в приватних похідних, в основному при дослідженні задач математичної фізики. Він істотно доповнив методи математичної фізики, зокрема, вніс істотний внесок до теорії потенціалу, теорії теплопровідності, досліджував коливання тривимірних тіл, ряд задач теорії електромагнетизму. Йому належать також праці з обгрунтування принципу Діріхле, для чого він розробив у статті «Про рівняння з приватними похідними» т. зв. метод ВИМІТАННЯ (фр.m?thode de balayage).
Алгебра і теорія чисел
Вже в перших роботах Пуанкаре успішно застосував теоретико-груповий підхід, який став для нього найважливішим інструментом у багатьох подальших дослідженнях - від топології до теорії відносності. Пуанкаре першим ввів теорію груп у фізику; зокрема, він першим досліджував групу перетворень Лоренца. Він також вніс великий внесок в теорію дискретних груп та їх уявлень.
У ранній період творчості Пуанкаре досліджував кубічні тернарние і кватернарні форми.
Топологія
Предмет топології ясно визначив ще Фелікс Клейн у своїй «Ерлангенском програмі» (1872): це геометрія інваріантів довільних неперервних перетворень, свого родуякісна геометрія. Сам термін «топологія» (замість застосовувався ранішеAnalysis situs) ще раніше запропонував Йоганн Бенедикт Лістинг. Деякі важливі поняття ввели Енріко Бетті та Бернхард Ріман. Однак фундамент цієї науки, причому досить детально розроблений для простору будь-якого числа вимірів, створив Пуанкаре. Його перша стаття на цю тему з'явилась у 1894 році.
Дослідження в геометрії привели Пуанкаре до абстрактного топологічного визначення гомотопії і гомології. Також він вперше ввів основні поняття та інваріанти комбінаторної топології, такі як числа Бетті, фундаментальну групу, довів формулу, що зв'язує число ребер, вершин і граней n-мірного багатогранника (формула Ейлера - Пуанкаре), дав перше точне формулювання інтуїтивного поняття розмірності.
Астрономія і небесна механіка
Пуанкаре опублікував дві класичні монографії: «Нові методи небесної механіки» (1892-1899) і «Лекції з небесної механіки» (1905-1910). У них він успішно застосував результати своїх досліджень до завдання про рух трьох тіл, детально вивчивши поведінку рішення (періодичність, стійкість, асимптотічность і т. д.). Їм введені методи малого параметра, нерухомих точок, інтегральних інваріантів, рівнянь у варіаціях, досліджена збіжність асимптотичних розкладів. Узагальнивши теорему Брунса (1887), Пуанкаре довів, що завдання трьох тіл принципово не інтегровна. Іншими словами, спільне рішення задачі трьох тіл не можна виразити через алгебраїчні або через однозначні трансцендентні функції координат і швидкостей тел. Його роботи в цій галузі вважаються найбільшими досягненнями в небесній механіці з часів Ньютона.
Ці роботи Пуанкаре містять ідеї, що стали пізніше базовими для математичної «теорії хаосу» (див., зокрема, теорему Пуанкаре про повернення) і загальної теорії динамічних систем.
Пуанкаре належать важливі для астрономії праці про фігури рівноваги гравитирующей обертається рідини. Він ввів важливе поняття точок біфуркації, довів існування фігур рівноваги, відмінних від еліпсоїда, в тому числі кільцеподібних і грушовидних фігур, дослідив їх стійкість. За це відкриття Пуанкаре отримав золоту медаль Лондонського королівського астрономічного товариства (1900).
