Про знаменитості
Леонард Ейлер: биография
Геометрія
В елементарній геометрії Ейлер виявив кілька фактів, не помічених Евклідом:
- Число вершин (В ), граней (Г) і ребер (Р) у будь-якого опуклого багатогранника пов'язані простою формулою: В + Г = Р + 2.
- Три висоти трикутника перетинаються в одній точці (Ортоцентр).
- У трикутнику Ортоцентр, центр описаного кола і центр ваги лежать на одній прямій - «прямий Ейлера».
- Підстави трьох висот довільного трикутника, середини трьох його сторін і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з Ортоцентр, лежать всі на одній окружності (окружності Ейлера).
Другий том «Введення в аналіз нескінченно малих» (1748) - це перший у світі підручник з аналітичної геометрії і основам диференціальної геометрії. Термін аффінниє перетворення вперше введений в цій книзі разом з теорією таких перетворень.
У 1760 році вийшли фундаментальні «Дослідження про кривизну поверхонь». Ейлер виявив, що в кожній точці гладкій поверхні є два нормальних перетину з мінімальним і максимальним радіусами кривизни, і площини їх взаємно перпендикулярні. Вивів формулу зв'язку кривизни перетину поверхні з головними кривизнами.
1771: опубліковано твір «Про тілах, поверхня яких можна розгорнути на площину». У цій роботі введено поняттярозгортається поверхні, тобто поверхні, яка може бути накладена на площину без складок і розривів. Ейлер, однак, дає тут цілком загальну теорію метрики, від якої залежить вся внутрішня геометрія поверхні. Пізніше дослідження метрики стає у нього основним інструментом теорії поверхонь.
Комбінаторика
Ейлер багато уваги приділяв поданням натуральних чисел у вигляді сум спеціального виду і сформулював ряд теорем для обчислення числа розбиття.
Він досліджував алгоритми побудови магічних квадратів методом обходу шаховим конем.
При вирішенні комбінаторних завдань він глибоко вивчив властивості сполучень і перестановок, ввів в розгляд числа Ейлера.
Інші області математики
Механіка і математична фізика
Безліч робіт Ейлера присвячені математичній фізиці: механіці, гідродинаміці, акустиці та ін У 1736 році вийшов трактат «Механіка, або наука про рух, в аналітичному викладі », що знаменує новий етап у розвитку цієї стародавньої науки. 29-річний Ейлер відмовився від традиційного геометричного підходу до механіки і підвів під неї строгий аналітичний фундамент. По суті, з цього моменту механіка стає прикладної математичної дисципліною.
У 1755 році публікуються «Загальні принципи руху рідин», в яких започатковано теоретичної гідродинаміці. Виведені основні рівняння гідродинаміки (рівняння Ейлера) для рідини без в'язкості. Розібрані рішення системи для різних приватних випадків.
У 1765 році в книзі «Теорія руху твердих тіл» Ейлер математично описав кінематику твердого тіла кінцевих розмірів (до нього досліджувався в основному рух точки). Він ввів у математику кути Ейлера і теорему обертання. Його ім'я також носять кінематична формула розподілу швидкостей в твердому тілі, рівняння (Ейлера - Пуассона) динаміки твердого тіла, важливий випадок інтегрованості в динаміці твердого тіла.
Ейлер узагальнив принцип найменшої дії, досить плутано викладений Мопертюї, і вказав на його основне значення в механіці. На жаль, він не розкрив варіаційний характер цього принципу, але все ж привернув до нього увагу фізиків, які пізніше з'ясували його фундаментальну роль у природі.