Леонард Ейлер: биография

Він відкрив, що в теорії чисел можливе застосування методів математичного аналізу, поклавши початок аналітичної теорії чисел. В основі її лежать тотожність Ейлера і загальний метод виробляють функцій.

Ейлер ввів поняття первісної кореня і висунув гіпотезу, що для будь-якого простого числаpіснує первісний корінь за модулемp; довести це він не зумів, пізніше теорему довели Лежандр і Гаусс. Велике значення в теорії мала інша гіпотеза Ейлера - квадратичний закон взаємності, також доведений Гауссом.

Математичний аналіз

Одна з головних заслуг Ейлера перед наукою - монографія «Введення в аналіз нескінченно малих» ( 1748). В 1755 році виходить доповнене «Диференціальне числення», а в 1768-1770 роках - три томи «Інтегрального обчислення». У сукупності це фундаментальний, добре ілюстрований прикладами курс, з продуманою термінологією і символікою, звідки багато перейшло і в сучасні підручники. Власне сучасні методи диференціювання та інтегрування були опубліковані в даних працях.

Підстава натуральних логарифмів було відомо ще з часів Непера і Якоба Бернуллі, однак Ейлер дав таке глибоке дослідження цієї найважливішої константи, що з тих пір вона носить його ім'я . Інша досліджена їм константа: постійна Ейлера - Маскероні.

Він ділить з Лагранжем честь відкриття варіаційного обчислення, виписавши рівняння Ейлера - Лагранжа для спільної варіаційної задачі. У 1744 році Ейлер опублікував першу книгу по варіаційного числення («Метод знаходження кривих, що володіють властивостями максимуму або мінімуму »).

Ейлер значно просунув теорію рядів і поширив її на комплексну область, отримавши при цьому знамениту формулу Ейлера. Велике враження на математичний світ виробили ряди, вперше підсумовані Ейлером, в тому числі не піддаватися до нього нікомуряд зворотних квадратів

Сучасне визначення показникової, логарифмічної і тригонометричних функцій - теж його заслуга , так само як їх символіка і узагальнення на комплексний випадок.^{[L 20]}Формули, що їх називають в підручниках «умови Коші - Рімана», більш правильно було б назвати «умовами Даламбера - Ейлера».

Він перший дав систематичну теорію інтегрування і використовуваних там технічних прийомів, знайшов важливі класи інтегрованих диференціальних рівнянь. Він відкривЕйлерови інтеграли- цінні класи спеціальних функцій, що виникають при інтегруванні: бета-функція і гамма-функція Ейлера. Одночасно з Клеро вивів умови інтегрованості лінійних диференціальних форм від двох або трьох змінних (1739). Перший ввів подвійні інтеграли. Отримав серйозні результати в теорії еліптичних функцій, в тому числі перші теореми складання.

З більш пізньої точки зору, дії Ейлера з нескінченними рядами не завжди можуть вважатися коректними (обгрунтування аналізу було проведено лише через півстоліття), але феноменальна математична інтуїція практично завжди підказувала йому правильний результат. Втім, справа була не тільки в інтуїції, Ейлер діяв тут досить свідомо, в багатьох важливих відносинах його розуміння сенсу розбіжних рядів і операцій з ними перевершувало стандартне розуміння XIX століття і послужило основою сучасної теорії розбіжних рядів, розвиненою в кінці XIX - початку XX століття.^{[L 21]}