Учился музыке в родном городе у местного скрипача Фаустино Камизани (1772—1830). В 17-летнем возрасте выступил перед Никколо Паганини и с одобрения последнего начал концертировать. В середине 1840-х гг. совершенствовался в Лейпциге, посвятив себя преимущественно музыке Иоганна Себастьяна Баха и Людвига ван Бетховена. В середине 1860-х гг. отошёл от концертной деятельности и посвятил себя в большей степени композиции: среди его сочинений — опера «Туранда» (1867, по пьесе Карло Гоцци «Турандот»), симфоническая поэма «Франческа да Римини» (1879, вторая редакция 1885), увертюры «Король Лир» (1871, к трагедии Шекспира) и «Саул» (1867, к трагедии Альфьери), шесть струнных квартетов (из которых первый, 1864, получил первую премию Миланского квартетного общества) и др. В 1868 г. написал Dies Irae в коллективную Мессу по Россини, сочинённую двенадцатью композиторами по инициативе Джузеппе Верди. Однако наиболее знаменитым сочинением Бадзини остаётся его сравнительно ранняя виртуозная скрипичная миниатюра «Хоровод духов» (итал. La Ridda Dei Folletti; 1852). С 1873 г. преподавал в Миланской консерватории (с 1882 г. её директор), среди его учеников были Джакомо Пуччини, Пьетро Масканьи и Альфредо Каталани.
Альбомы виртуозных пьес Бадзини для скрипки и фортепиано записали Луиджи Альберто Бьянки и Хлоя Ханслип.
