Спортивная карьера
Лейла Месхи начала играть в теннис в семь лет, и её первым тренером стал Гурам Тохадзе. На ранних этапах карьеры её также тренировал четырёхкратный чемпион Европы Теймураз Какулия.
В 1986 году Месхи выиграла с Натальей Зверевой парный турнир Открытого чемпионата Франции среди девушек, а месяц спустя проиграла ей в финале юниорского турнира на Уимблдоне. К концу года она занимала первое место в рейтинге Международной федерации тенниса (ITF) среди девушек в парном разряде. В том же году она выиграла свой первый профессиональный турнир, разыгрывавшийся под эгидой ITF в Бетесда (штат Мэриленд). Этого успеха она тоже добилась в паре со Зверевой, а в одиночном разряде она выиграла зимний чемпионат СССР (титул «летней» чемпионки СССР она добавила к нему три года спустя). Свой первый профессиональный турнир в одиночном разряде она выиграла в январе 1987 года, также под эгидой ITF. Она также выиграла теннисный турнир Универсиады в Загребе в одиночном и парном разряде.
В 1988 году она одерживает свою первую победу над теннисисткой из первой десятки рейтинга: на Открытом чемпионате США во втором круге она взяла верх над пятой ракеткой мира Пэм Шрайвер. Месхи представляет СССР на Олимпиаде в Сеуле, но во втором круге проигрывает безоговорочной фаворитке всего сезона Штеффи Граф. После Олимпиады на турнире в Нэшвилле она вновь побеждает теннисистку из первой десятки рейтинга, Барбару Поттер из США.
В 21 год, в 1989 году, в Нэшвилле Месхи выигрывает свой первый турнир Женской теннисной ассоциации (WTA), став первой советской теннисисткой, выигравшей турнир WTA в одиночном разряде с 1974 года. В следующем году она одерживает две победы на турнирах WTA в одиночном разряде, в том числе и на Moscow Ladies Open, первом женском профессиональном турнире в СССР. Дважды она первенствует и в парном разряде, оба раза с украинкой Натальей Медведевой. К этому году относится и высшее достижение Месхи в Кубке Федерации: со сборной СССР она доходит до финала, где её команда уступает американкам.
В 1991 году Месхи единственный раз в карьере выходит в финал турнира I категории в Хилтон-Хед-Айленд (Южная Каролина). В четвертьфинале она победила посеянную первой Навратилову, а в полуфинале Звереву, но в финале уступила посеянной под вторым номером Габриэле Сабатини. После этого турнира она поднялась на высшую в карьере двенадцатую строчку в рейтинге WTA. Она также дошла до полуфинала Открытого чемпионата США в паре с аргентинкой Мерседес Пас — высшее достижение за время её участия в турнирах Большого шлема среди взрослых. В этом сезоне на её счету победы над Яной Новотной и Дженнифер Каприати, как и Навратилова, входившими в первую десятку рейтинга.
1992 год ознаменован для неё одним из важнейших достижений в карьере: в паре со Зверевой, представляя Объединённую команду СНГ, она завоевала бронзовую медаль Олимпиады в Барселоне. Белорусско-грузинская пара, посеянная четвёртой, в четвертьфинале победила посеянных седьмыми аргентинок, но затем проиграла будущим чемпионкам, Джиджи и Мэри-Джо Фернандес из США. На этой Олимпиаде матчи за третье место не проводились, и Зверева и Месхи автоматически получили «бронзу».
В последующие годы Месхи достаточно успешно выступает в парном разряде, выиграв три турнира II и III категорий, в том числе дважды турнир в Линце, оба раза — с россиянкой Евгенией Манюковой. В 1995 году она поднялась на высшую для себя строчку в рейтинге теннисисток в парном разряде. В одиночном разряде она периодически также одерживает внушительные победы, в том числе над теннисистками из первой десятки (Каприати, Сабатини) и даже выигрывает турнир WTA в начале 1995 года, но травма ноги не позволяет ей продолжить регулярные выступления. Последние свои официальные матчи Месхи провела в октябре 1996 года на Кубке Кремля.
Участие в финалах турниров WTA и ITF (26)
Одиночный разряд (12)
Парный разряд (14)
Дальнейшая карьера
В 1996 году Лейла Месхи и её муж Павел Надибаидзе основали в Тбилиси теннисную академию.
Свой прощальный матч Месхи провела в октябре 1997 года на кортах своей теннисной академии в Тбилиси в рамках организованного ей международного турнира — Открытого чемпионата Тбилиси по теннису. По окончании матча было обявлено о том, что президентом Шеварднадзе ей присвоена высшая гражданская награда Грузии — орден Чести.
В 1999 году Месхи была избрана председательницей теннисной федерации Грузии, в 2004 году её переизбрали на второй срок. В 2011 году Месхи стала директором нового турнира WTA в соседнем Азербайджане — Кубка Баку.
