Мейер родился в семье коммерсанта из Цюриха Иоганна Баптиста Мейера и учился рисованию в родном городке. Иоганн Каспар Фюссли познакомил его с творчеством археолога и искусствоведа Иоганна Иоахима Винкельмана, которое произвело на него большое впечатление. В 1784 году художник Мейер отправился в Рим и влился в колонию проживавших там немецких художников. В 1786 году Генрих Мейер работал учителем рисования в Неаполе и познакомился с художником Иоганном Генрихом Вильгельмом Тишбейном. В Неаполе он был представлен герцогине Анне Амалии Саксен-Веймар-Эйзенахской и познакомился с Иоганном Готфридом Гердером. В Венеции он вновь встретился с Гёте и в 1791 году переехал в тюрингское герцогство Веймар, где оставался до конца своей жизни.
До 1802 года Мейер проживал в веймарском доме Гёте. Сначала он руководил перестройкой дома в стиле классицизма. В 1795 году Генрих Мейер получил звание профессора, а в 1806 году — должность директора веймарской Княжеской школы рисования. В 1795 году Мейер отправился на два года в поездку во Флоренцию и Рим. В 1799 году он руководил оформлением веймарского городского замка. В 1798 году Мейер вместе с Гёте издавал художественный журнал «Пропилеи».
В январе 1803 году Генрих Мейер женился на жительнице Веймара Амалии фон Коппенфельс, которая была моложе своего жениха на 11 лет. Молодая семья сначала проживала в Йене, затем вернулась в Веймар. Бездетный брак Мейеров был тем не менее счастливым. Амалия умерла в 1825 году. Генрих Мейер больше не женился.
В 1807 году Генрих Мейер получил звание придворного советника. В 1809—1815 годах он работает над своей «Историей искусства», которая будет издана лишь в 1974 году. Гёте очень дорожил мнением Мейера по вопросам изобразительного искусства. Дружба с Гёте продолжалась до самой смерти Мейера, то есть в течение 45 лет. Этому способствовал спокойный характер художника и отстранённая манера общения. В отличие от Иоганна Петера Эккермана не носило оттенка раболепия. Мейер был первым, кому Гёте сообщил о завершении работы над «Фаустом».
