Родился 8 июля 1934 года в посёлке Уршель Владимирской области в семье военнослужащего. В 1963 году окончил Казанский авиационный институт. Был другом Юрия Власова.
Старший тренер Татсовета ДСО «Буревестник» (1958—1968 гг.), тренер Казанской школы высшего спортивного мастерства (1968—1971 гг.), инженер научно-исследовательского института по внедрению вычислительной техники (1971—1973 гг.).
Будучи студентом института, под руководством тренера Владимира Павлова серьёзно занялся тяжелой атлетикой и в 1956 году выполнил норматив мастера спорта СССР.
В 1959, 1960 и 1962 годах Александр Курынов был победителем международных соревнований «Кубок Дружбы».
Наибольшего успеха добился в 1960 году, завоевав звание чемпиона Олимпийских игр в Риме, победив «железного» Томми Коно (США) и установив при этом мировые рекорды в толчке — 170,5 кг и в сумме троеборья — 437,5 кг. За этот успех он удостоен почетного звания «Заслуженный мастер спорта СССР».
Успешно выступал и после Олимпийских игр. Курынов — чемпион мира 1961, 1962, 1963 и чемпион Европы 1960—1963 годов. На счету Александра Курынова—14 мировых рекордов.
Награждён орденом Трудового Красного Знамени (1960).
Для увековечения памяти выдающегося атлета решением правительства Республики Татарстан в 1990 году на здании Казанского авиационного института (площадь Свободы) установлена мемориальная доска.
Ежегодно в память о нём проводятся международные соревнования по тяжелой атлетике.
