В 1997, 2001 и 2005 годах в составе сборной Армении Ашот Анастасян становился бронзовым призёром командного чемпионата мира, в 1992 и 2002 гг. бронзовым призёром Всемирных шахматных Олимпиад, а в 1999 году победителем командного чемпионата Европы(лучший результат на 3-й доске). Победитель Кубка Европы среди клубов в составе команды «Ереван» (1995).
Другие значительные результаты:
- Пловдив (Болгария, 1987) — 1-е место;
- Ленинград (СССР, 1989) — 1-е место;
- Воскресенск (Россия, 1992) — 1-2-е места;
- Москва (1992) — 2-4-е места;
- Катовице-опен (Польша, 1993) — 1-2-е места;
- Ереван (1994) — 1-е место;
- Тегеран (Иран, 1998) — 1-е место;
- Париж (Франция, 1999) — 1-е место;
- Будапешт (Венгрия, 1999) — 1-е место;
- Абу-Даби-опен (ОАЭ, 1999) — 1-3-е места;
- Степанакерт (НКР, 2004) — 3-5-е места;
- Дубай-опен (ОАЭ, 2005) — 2-10-е места;
- Абу-Даби-опен (ОАЭ, 2007) — 1-2-е места.
