Родился в семье банковского служащего . Окончил гимназию, юридический факультет Львовского университета. Служил в польской армии в 1932—1934 году. Работал в торговой сети «Народная торговля» в г. Станиславов в 1934 году.
Член ОУН. В 1937 г. находился в заключении в польской тюрьме. В 1938 г. — член правления украинской националистической спортивной организации «Сокол» в г. Збараж, в 1939—1940 гг. — областной проводник (руководитель) «Юнацтва» ОУН на Станиславщине.
После раскрытия НКВД УССР планов ОУН(б) по организации восстания на Западной Украине был арестован 10 сентября 1940 в городке Долина. На «процессе 59-ти» во Львове приговорён к смертной казни, по поданной апелляции приговорен к 10-годам лишения свободы. В июле 1941 при приближении немецких войск бежал из Бердичевской тюрьмы.
Возглавил организацию ОУН (бандеровцев) во Львове, краевой проводник ОУН ПЗУЗ (Північно-західні українські землі — по классификации ОУН — Волынь и Полесье) с января 1942 года. С 1943 г. — член Провода (Правления) ОУН (бандеровцев), организатор и второй -после устранения СБ ОУН(б) первого командира УПА Василя Ивахова — командир УПА. В 1944 г. ему присвоено звание майора УПА, он назначен краевым командиром УПА-Севера. Член ГВШ УПА.
Руководил акциями по истреблению польского населения на Волыни.
18 августа 1943-го Клячкивский отдал приказ разоружить УНРА(«бульбовцев»).
В 1944 Д.Клячкивский отдал приказ на уничтожение этнических русских находившихся в отрядах УПА.
2 апреля 1944 Клячкивский через абверкоманду группы армий «Северная Украина» передал предложение о координации борьбы с советскими войсками, предоставления разведывательной информации. В своем послании он просил передать его отрядам 20 полевых и 10 зенитных орудий, 500 автоматов, 250 тысяч патронов, 10 тысяч гранат и др.
Место пребывания Клячкивского было сообщено взятым в плен командиром группы УПА-Север Ю.Стельмащуком (Рудым).
12 февраля 1945 оперативно-войсковая группа Клеванского райотдела НКГБ и 233-й бригады ВВ НКВД, проводя прочесывания леса возле Оржевских хуторов Клеванского района на Ровенщине, обнаружила 3-х человек. При преследовании все отказались сдаться и были уничтожены. Клячкивский был смертельно ранен старшим группы — сержантом.
Распоряжением УГВР ему посмертно присвоено звание полковника УПА. А в 1952 году ему была присвоена высшая награда УПА-ОУН(б) — Золотой Крест Заслуги ОУН.
Памятники
9 июля 1995 года на его родине в г. Збараж открыт памятник Клячкивскому (скульптор В. Мельник) ..
Ещё один памятник Дмитрию Клячкивскому был открыт 14 октября 2002 г. в г. Ровно на улице Соборной у дома 16, возле стен бывшей областной тюрьмы НКВД (скульптор В. Шолудько).
