Ученик Л. С. Понтрягина, а также Е. Ф. Мищенко и И. Р. Шафаревича. Работает в Математическом институте им. В. А. Стеклова (отдел дифференциальных уравнений) и на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Заместитель заведующего кафедрой общих проблем управления (c 1992 года). М. И. Зеликин является членом редколлегии журнала «Фундаментальная и прикладная математика», членом Учёного Совета Российского университета дружбы народов, членом Правления Московского математического общества. Награжден Чебышевской премией АН СССР (1987), премией имени А. М. Ляпунова (2010).
Основные труды по теории дифференциальных уравнений (в том числе, уравнениям Риккати), теории оптимального управления и дифференциальных игр (в том числе, игр с неполной информацией типа «принцесса и монстр»), геометрии грассмановых многообразий. Разработана теория оптимального синтеза для многомерных нелинейных задач управления, содержащего траектории со счётным множеством переключений на конечном интервале времени (так называемый «четтеринг-синтез»). Докторская диссертация «Метод дифференциальных форм в теории оптимального управления» (1988).
М. И. Зеликин — автор нескольких учебников и монографий, в том числе:
- M. I. Zelikin, V. F. Borisov. Theory of Chattering Control with applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering, Birkh?user, — Boston, MA, 1994.
- M. I. Zelikin. Control Theory and Optimization, — Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 86, Springer-Verlag, 2000.
- М. И. Зеликин. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.
- Э. М. Галеев, М. И. Зеликин, С. В. Конягин и др. Оптимальное управление, — МЦНМО, Москва, 2008.
Экологическая деятельность
Известен также своей экологической деятельностью (совместно с женой Л. Ф. Зеликиной), направленной против проекта «поворота рек», и, в частности, профессиональной критикой научных прогнозов, положенных в основу этого проекта. Член экологической комиссии под руководством А. Л. Яншина.
В результате деятельности группы противников «поворота» была создана комиссия для проверки работы института водных проблем АН СССР, возглавляемая член-корреспондентом АН СССР К. И. Бабенко. По результатам проверки работа института была признана неудовлетворительной, и Г. В. Воропаев снят с поста директора института.
В конце 1985 года было принято постановление Бюро отделения математики АН СССР «О научной несостоятельности методики прогнозирования уровня Каспийского и солёности Азовского морей, использованной министерством водного хозяйства СССР при обосновании проектов переброски части стока северных рек в бассейн Волги». В адрес руководителей страны был написан ряд писем, осуждающих проект «поворота», среди которых: письмо в президиум XXVII съезда КПСС (академики Д. С. Лихачёв, Г. И. Петров, Л. С. Понтрягин, В. Л. Янин) и письмо академика Л. С. Понтрягина генеральному секретарю ЦК КПСС М. С. Горбачеву. В литературном журнале «Наш Современник» был проведен «круглый стол», посвященный проекту «поворота», следствием которого стали многочисленные выступления противников «поворота» на VII съезде писателей СССР (В. Г. Распутин, В. И. Белов, Ю. В. Бондарев, С. П. Залыгин и др. В результате этой деятельности работы по переброске части стока северных и сибирских рек не были включены в основные направления будущей пятилетки и остановлены.
История борьбы с «поворотом рек» описана в автобиографической книге М. И. Зеликина «История вечнозелёной жизни» (Факториал пресс, Москва, 2001).
