Мастер спорта международного класса (1986). Заслуженный мастер спорта СССР (1986).
Окончил Луганский педагогический институт.
Карьера игрока
«Заря» и СКА (до 1983)
Воспитанник ворошиловградской (луганской) детско-юношеской школы олимпийского резерва «Заря». Первый тренер — Борис Васильевич Фомичев. В раннем возрасте выделялся среди одногодков филигранными и нестандартными приемами и импровизацией на поле. Вместе с местной СДЮШОР дважды выходил в финал всеукраинского турнира «Кожаный мяч» (оба раза завоёвывая лишь «серебро»).
Талантливого парня в 1977 году заметил Йожеф Сабо — наставник «Зари» и сразу пригласил выступать за «дубль» команды. 27 апреля 1979 года Заваров дебютировал за клуб в высшей лиге чемпионата СССР на тбилисском стадионе «Динамо» в игре с «Динамо» (Тбилиси) — он вышел на вторые 45 минут и по итогам матча был признан лучшим игроком!
В первом профессиональном сезоне 18-летний юноша забил 7 голов, выступая на позиции нападающего. Заварова пригласили в юношескую сборную СССР, которая в том году завоевала «серебро» на чемпионате мира в своей возрастной категории, который проходил в Японии. Вместе с Александром там начинали свой путь в большом футболе Виктор Чанов, Сергей Краковский, Виктор Янушевский, Игорь Пономарев, Игорь Гуринович и Олег Таран. Команда выступила успешно, уступив только в финальном матче команде Аргентины, за которую играли небезызвестные Рамон Диас, Хуан Барбас и Диего Марадона.
Затем были два года «службы» в ростовском СКА, который Заваров выбрал по двум причинам — недалеко от Луганска (в отличие от Москвы) и наличие в составе СКА экс-луганчан братьев Кузнецовых, Сергея Андреева, Валерия Зуева. В армейском клубе талант Заварова начал раскрываться по-новому. В паре с бомбардиром Сергеем Андреевым они стали одними из лучших забивающих в чемпионате СССР.
Лучшим достижением стала победа в Кубке СССР в 1981 году. В финале СКА играл против московского «Спартака» и за несколько минут до окончания основного времени счёт не был открыт. На 84-й минуте Александр Заваров после хитрого финта отдал пас Сергею Андрееву, и лучший бомбардир ростовчан тех лет забил решающий гол. Команда стала обладателем Кубка СССР по футболу.
Между тем, по признанию тренеров СКА, Заваров не отличался дисциплиной — часто позволял себе нарушать режим (вместе с Игорем Гамулой), был своенравен. За это неоднократно наказывался, в том числе, 10 сутками гауптвахты.
Тем не менее, пребывание в СКА было судьбоносным для Заварова. Один из тренеров СКА, Герман Зонин, видя, что на позиции на нападающего Заваров уже не так хорош, предложил ему оттянуться в полузащиту и вести игру из середины поля. С 1980 года стал играть «под нападающими», стараясь снабжать хорошими передачами форвардов Андреева и Воробьева. Как признавался Александр, «и мне действительно стало полегче: отбегал назад, получал мяч, все время был в игре — не ждал паса, а, наоборот, делал передачи партнерам».
Следующий год атакующий полузащитник снова провёл в «Заре», которая переживала не лучшие времена, выступая в первой лиге. Заваров в том сезоне забил 10 голов в 30 играх. Перспектив в «Заре» у него не было, поэтому сами руководители «Зари», а именно Виктор Кузнецов, позвонил в Киев Михаилу Фоменко с предложением взять себе Заварова. Через день за ним приехали и забрали в «Динамо».