Окончил Государственное музыкальное училище имени Гнесиных (класс А. Бендицкого) и Государственный музыкально-педагогический институт имени Гнесиных (класс А. Георгиана). Лауреат и дипломант всероссийских, всесоюзных и международных конкурсов (в том числе — Пятого международного конкурса имени П. И. Чайковского, Москва, 1974).
С 1969 г. в различных симфонических и камерных оркестрах, в том числе в Московском государственном симфоническом оркестре и Академическом симфоническом оркестре Московской государственной филармонии; участник первого состава Государственного Камерного Оркестра «Виртуозы Москвы». С 1990 г. в новом Российском национальном оркестре, в настоящее время концертмейстер группы виолончелей. Выступает также с сольными и ансамблевыми программами: среди партнёров Готгельфа были, в частности, Игорь Ойстрах, Михаил Плетнёв, Наталия Шаховская и др. Игра Готгельфа в оркестре и в качестве солиста получала высокие оценки музыкальной критики.
В 2002 году фирма «Cello Classics» (Лондон, Великобритания) выпустила диск «Величайшие мгновения виолончельного искусства XX века» («Great moments in cello playing»). Среди исполнителей, представленных на диске, — Пабло Казальс, Эммануэль Фойерман, Григорий Пятигорский, Даниил Шафран, Миша Майский, Александр Рудин, Александр Готгельф (запись «Скерцо» Юрия Шапорина сделана на Пятом международном конкурсе имени Чайковского).
Преподаёт на кафедре оркестровых струнных инструментов Государственного музыкально-педагогического института имени Ипполитова-Иванова.
