Сын архитектора, Гауптман изучал под руководством отца математику, рисование и древние языки. Благодаря матери он усвоил французский язык, а также итальянский, бывший в ходу между музыкантами дрезденского двора, среди которых в юности Гауптман и вращался. Восьми лет стал учиться играть на скрипке, затем занимался фортепиано под руководством Франца Лауски. В 1808 г. под руководством дрезденского придворного капельмейстера Франческо Морлакки занялся контрапунктом и, таким образом, получил всестороннее образование. В 1811 г. Гауптман поехал еще в Готу, к знаменитому Людвигу Шпору. Через год вернулся в Дрезден, получил здесь место скрипача в придворной капелле, но вскоре отказался от него и самостоятельно предпринял концертную поездку в Вену и Прагу. В 1815 г. поступил учителем музыки в дом князя Репнина, в надежде отправиться с его семейством путешествовать по Италии. Однако князь Репнин был назначен губернатором в Малороссию, Гауптман остался в России, в доме Репнина, и жил сначала в Петербурге, затем в Москве и, наконец, в Полтаве (до 1820 года). О музыкально-общественной деятельности в Полтаве нечего было и думать, и он снова принялся за прерванные научные занятия по математике и естествоведению, зарекомендовав себя даже в качестве архитектора и землемера. Наконец он предпринял ряд работ по акустике и теории музыки, доставившие ему впоследствии известность, а также занялся композицией. К этому периоду относятся его песни, скрипичные дуэты и большая трагическая опера «Матильда»; все это впоследствии было издано.
В 1820 г. Гауптман вернулся в Дрезден, через 2 года переселился в Кассель, где его связывала дружба со Шпором и где он получил место скрипача в придворной капелле. Здесь он впервые обратился к педагогической деятельности, и среди его учеников были Фридрих Бургмюллер и Фердинанд Давид.
В 1842 г. Гауптман занял должность кантора в знаменитом хоре мальчиков при лейпцигской школе Святого Фомы, а в следующем году получил пост профессора композиции в новосозданной Лейпцигской консерватории. К его многочисленным ученикам принадлежали Евгений Альбрехт, Ганс фон Бюлов, Эдвард Григ, Артур Салливен, Йозеф Иоахим, Карл Давыдов и многие другие.
В 1842—1846 гг. Гауптман редактировал лейпцигскую «Всеобщую музыкальную газету». В 1850 г. вместе с Отто Яном и Робертом Шуманом он основал Баховское общество, в дальнейшем он редактировал первые три тома предпринятого обществом издания полного собрания сочинений Иоганна Себастьяна Баха.
Среди сочинений Гауптмана преобладает церковная музыка: мессы, мотеты и др. Его теоретические взгляды обобщены в труде «Природа гармонии и метрики» (нем. Die Natur der Harmonik und Metrik; 1853).
