Детство и юность
Родился в 1960 году в селе Еловка Иркутской области, затем семья переехала в город Назарово Красноярского края.
Окончил 8 классов в 136 школе, после чего поступил в Назаровский строительный техникум. После его окончания окончил факультет физвоспитания и военной подготовки Красноярского педагогического института, затем два года работал преподавателем физкультуры в средних школах 2 и 10 в Назарово.
По сообщениям прессы, в конце 1980-х годов Быков создал из бывших спортсменов группировку, которая занималась рэкетом.
В 1990 году переехал в Красноярск и там основал фирму СТМ (строительство, технологии, металл).
КрАЗ
По сообщениям прессы, Быков и дважды судимый лидер местной преступной группировки Владимир Татаренков в начале 1990-х годов организовывали убийства противостоявших им уголовных "авторитетов" и к концу 1994 года группировка Быкова и Татаренкова контролировала почти все гостиницы, казино, станции автосервиса Красноярска.
В 1994 г. Быков по договоренности с генеральным директором Красноярского алюминиевого завода (КрАЗа) Колпаковым в обмен на гарантии полной поддержки стал членом совета директоров завода и получил 10% его акций. Затем Быков "вычеркнул из реестра" 17% акций завода, принадлежавших компании Тrans World Group (TWG). В прессе этот конфликт Быкова с другими акционерами КрАЗа получил название "первой алюминиевой войны".
В июне 1996 года Быков стал одним из создателей ООО «Назаровская агропромышленная компания». В том же году он был избран депутатом Назаровского городского совета.
В сентябре 1997 года Быков стал вице-президентом банка «Российский кредит», крупнейшего акционера завода.
В декабре 1997 года Быков был избран депутатом Законодательного собрания Красноярского края.
С июня 1998 года Быков — председатель Совета директоров КрАЗа. К тому времени ему принадлежало 28 % акций завода. Войдя в руководство КрАЗа, Быков распространил свое влияние на другие предприятия Краcноярска. Для этого он создал финансово-промышленную группу "ТАНАКО", в которую вошли "Краcноярскэнерго", Красноярская ГЭС, Ачинский глинозёмный комбинат и другие крупнейшие предприятия края.
На выборах губернатора поддержал Александра Лебедя, однако вскоре разочаровался в нём, когда тот инициировал проверку завода.
Уголовные дела
В апреле 1999 года против Быкова было возбуждено уголовное дело по факту легализации им незаконно полученных денежных средств. Он выехал из России в Венгрию, где был арестован по запросу российских правоохранительных органов.
В конце 1999 г. в Греции был арестован бывший соратник Быкова Татаренков. Он дал показания о причастности Быкова к убийствам ряда красноярских уголовных "авторитетов" и предпринимателей. Была также показана по телевидению видеозапись заявлений Татаренкова с обвинениями Быкова в убийствах. После этого Быков был выдан Венгрией российским следственным органам. Но Татаренков неожиданно отказался от своих показаний, после чего Быков был освобожден.
В 2000 году совет директоров КрАЗа принял решение о сложении с Анатолия Быкова полномочий председателя совета директоров.
4 октября 2000 года Быков был вновь арестован, и в 2002 году Мещанский межмуниципальный суд Москвы признал его виновным в том, что он заказал наемному убийце убийство Вилора Струганова по кличке «Паша-Цветомузыка» (киллер сообщил о заказе правоохранительным органам, и убийство Струганова было инсценировано) и приговорил его к шести с половиной годам лишения свободы условно с испытательным сроком в течение пяти лет.
В 2003 году возобновились слушания по делу об убийстве жителя Назарово Олега Губина, где Быкову вменялось соучастие в организации убийства. 1 июля 2003 года краевой суд признал Быкова невиновным в этом преступлении.
