В 1911—1914 гг. изучал в университетах Мюнхена, Лейпцига и Берлина сперва медицину, затем историю искусств, философию и музыковедение. С началом Первой мировой войны был призван на военную службу и вернулся к учёбе только в 1919 году, в 1921 г. защитил в Лейпциге диссертацию «Из предыстории развития оркестровой сюиты в XV—XVI веках» (нем. Studien zur Vorgeschichte der Orchester-Suite im 15. und 16. Jh.). С этого времени работал ассистентом известного немецкого музыковеда Германа Аберта (до его смерти в 1927 г.), сперва в Лейпциге, а затем в Берлине. В 1925 г. хабилитирован с диссертацией «Принцип монодии в протестантской церковной музыке» (нем. Das monodische Prinzip in der protestantischen Kirchenmusik). С 1934 г. и до выхода на пенсию в 1958 г. профессор Университета имени Христиана Альбрехта в Киле.
Блюме тяготел к националистическому движению, был членом профашистского Союза борьбы за немецкую культуру. Его доклад «Музыка и раса» 1938 года лёг в основу изданной в 1944 г. книги «Расовый вопрос в музыке» (нем. Das Rasseproblem in der Musik). Это, однако, не помешало его послевоенной карьере: так, в 1947 г. Блюме был избран президентом вновь созданного Германского музыковедческого общества, в 1958—1961 гг. возглавлял Международное музыковедческое общество.
Среди важнейших трудов Блюме — подготовка полного собрания сочинений Михаэля Преториуса (1927—1940, в соавторстве). Он выпустил ряд книг о произведениях Иоганна Себастьяна Баха. Начиная с 1949 г. Блюме возглавлял редколлегию музыкальной энциклопедии «Die Musik in Geschichte und Gegenwart».
