Его диссертация 1904 года была посвящена решению 19-ой проблемы Гильберта. Им найдены условия аналитичности решений уравнений второго порядка эллиптических и параболических типов; развиты новые методы решения граничных задач для нелинейных уравнений эллиптического типа; совместно с учениками создана новая ветвь теории функций — конструктивная теория функций. При доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса Бернштейном были построены полиномы, оказавшиеся полезными в самых разных областях математики. Теперь их называют полиномами Бернштейна.
В теории вероятностей Бернштейном предложена первая (1917) аксиоматика; продолжены и в определённом смысле завершены исследования петербургской школы Чебышева — Маркова по предельным теоремам; разработана теория слабозависимых случайных величин; исследованы стохастические дифференциальные уравнения и указан ряд применений вероятностных методов в физике, статистике и биологии.
Звания и награды
- Академик АН СССР (1929; чл.корр. 1924)
- Член Немецкого союза математиков (1926)
- Член Французского математического общества (1944)
- Почётный доктор наук Алжирского университета (1944)
- Почётный доктор наук Парижского университета (1945)
- Академик Парижской академии наук (1955; чл.корр. 1928);
- Сталинская премия (1942).
Библиография
- Собр.соч., т. 1 — 4, М.,1952 —1964.
- Теория вероятностей, 4 изд., М. — Л., 1948.
- «Успехи математических наук», 1961, т.16, в.2; 1969, т.24, в.3; 1983, т.28, в.3.
- «Вестник АН СССР», 1969. № 1.
