Житель г. Урус-Мартан Урус-Мартановского района Чеченской Республики. В 1974 году окончил среднюю школу № 2 г. Урус-Мартан ЧИАССР. С 1974—1976 гг. прошел срочную службу в Венгрии в рядах советской армии. В 1977 году поступил в Чечено-Ингушский государственный университет (ЧИГУ) на исторический факультет.
Трудовая деятельность Эльмурзаева Ю. М. началась в 1977 году учителем истории средней школы № 4 г. Урус-Мартан ЧИАССР. В 1983 году перешел на работу районный отдел народного образования (РОНО) Урус-Мартановского района ЧИАССР на должность инспектора. В 1989 году был избран депутатом верховного совета ЧИАССР. В 1994 году был назначен главой администрации Урус-Мартановского района Чеченской Республики. В 1979 году женился на уроженке с. Алхан-Юрт Байбатырову Айсет Шитаевну, 1957 года рождения. Имел трех сыновей 1980, 1983, 1985 года рождения и одну дочь 1990 года рождения. Имеет научные труды, является автором нескольких работ посвященных истории развития чеченской национальности и культуры.
8 июня 1996 года при исполнении служебных обязанностей в результате покушения был убит вместе со своими товарищами Эльмурзаевым Нажмудином Шамсудиновичем (награжден орденом Мужества посмертно), Асхабовым Саид-Эмином Магомедовичем (награжден орденом Мужества посмертно) и Эльдерхановым Абубакаром Умаровичем (награжден орденом Мужества посмертно).
За мужество и самоотверженность, проявленные при защите конституционного строя и установлении правопорядка в Чеченской Республике указом Президента Российской Федерации за № 856 от 11 июня 1996 года: Эльмурзаеву Юсупу Мутушевичу — главе администрации Урус-Мартановского района Чеченской Республике присвоено звание Героя России (посмертно).
