Юниорская и студенческая карьера
В 2001 году Эллиот был зачислен в состав юношеской команды «Эйджекс Эксмен» («Ajax Axemen»), выступавшей в Юниорской хоккейной лиге провинции Онтарио (OPJHL). В 2003 году он начал учёбу в Университете Висконсина в Мэдисоне и четыре сезона провёл в сборной университета, выступавшей в рамках Западной студенческой хоккейной ассоциации (WCHA). В сезоне 2005/6 годов Эллиот выиграл с командой Университета Висконсина чемпионат NCAA в высшем дивизионе и стал одним из ведущих вратарей студенческих команд в США и Канаде ( лучший процент побед по всей NCAA — 27 побед в 33 матчах; второе место в номинации на приз Хоби Бейкера, вручаемый лучшему вратарю NCAA). В этом сезоне, как и в следующем, он был признан лучшим вратарём WCHA. В 2006 году он был включён в первый состав сборной Западной ассоциации и в символическую первую сборную чемпионата NCAA.
За время выступлений за сборную Университета Висконсина Эллиот установил новые рекорды в истории команды: 1,78 пропущенных гола за игру, 93,1% отражённых бросков и 16 матчей, выигранных всухую. По проценту отражённых бросков Эллиот делит четвёртое место за всю историю NCAA.
Профессиональная карьера
В марте 2007 года Эллиотт подписал контракт с командой АХЛ «Бингхэмтон Сенаторс». До конца сезона он провёл за свой новый клуб восемь матчей. Он был приглашён в летний тренировочный лагерь клуба НХЛ «Оттава Сенаторз» и в октябре, вскоре после начала нового сезона, провёл свой первый матч в НХЛ, отразив 27 бросков по пути к гостевой победе 3-1 в Атланте. Больше в этом сезоне, однако, он за «Оттаву» не выступал, проведя за «Бингхэмтон» 44 игры (18 побед, из них две на ноль).
В сезоне 2008/9 Эллиот провёл практически равное количество игр за «Оттаву» (в основном с января) и «Бингхэмтон». В составе «Бингхэмтона» он выиграл 18 матчей из 27 и был признан лучшим вратарём декабря в АХЛ. Он также был избран в стартовый состав канадской сборной в ежегодном матче всех звёзд АХЛ. В «Оттаве» он установил новый рекорд клуба для вратарей-новичков, выиграв с командой восемь матчей подряд с 5 по 21 марта. В феврале и марте он становился лауреатом Кубка «Молсона», неофициально присуждаемого трём лучшим игрокам канадских команд.
Сезон 2009/10 Эллиотт уже полностью провёл в «Оттаве», начав его как второй вратарь, но отыграв большую часть года в связи с травмой Паскаля Леклера. Он выиграл 29 из 55 матчей, в которых принимал участие как основной вратарь, дважды признавался лучшим игроком недели в НХЛ и завоевал Кубок «Молсона» по итогам сезона. В середине сезона он побил рекорд клуба для вратарей, выиграв девять матчей подряд.
В феврале 2011 года в рамках перекройки состава команды, проводящей один из худших сезонов в своей истории, Эллиотт был обменян на вратаря «Колорадо Эвеланш» Крейга Андерсона. Неудачно отыграв остаток сезона (2 победы в 12 матчах), Эллиот был в межсезонье освобождён командой и подписал годичный контракт с «Сент-Луис Блюз», которым нужен был вратарь на замену. В действительности, однако, в первой половине сезона он выступал на равных с основным вратарём, Ярославом Галаком, пропуская в среднем меньше полутора голов за матч и отражая почти 95% бросков по воротам; в четырёх матчах из 16, в которых он участвовал, его ворота остались нераспечатанными.
Участник матча всех звёзд НХЛ (2012).
