Г. Эгельгаф родился в 1901 г. в Александрии в семье археолога Вальтера Эгельгафа, последователя и, в будущем, оппонента Генриха Шлимана, первооткрывателя Трои. Мать Г. Эгельгафа, принятая в аристократическом обществе Берлина, отличалась крайней экстравагантностью, и вела свое происхождение от воинственного царя Синаххериба. Ассирийские корни помогли семье сохранить свое положение после прихода к власти национал-социалистов. В 1921—1927 молодой Эгельгаф обучается в Марбургском университете, где позднее, защищает диссертацию по древней истории Передней Азии. В своей диссертации Г. Эгельгаф утверждал в частности, что ассирийцы основали первые концентрационные лагеря для иудеев в верховьях Тигра.
В феврале 1941 года Г. Эгельгаф вместе с Эрвином Роммелем высадился в Северной Африке. В составе экспедиционного корпуса «Африка» он вел научные изыскания в Киренаике и Мармарике. В качестве агента абвера некоторое время (предположительно, в марте 1941 г.) находился в Египте, откуда попытался переправиться на судне «Аэлла» на о. Мальта. В апреле 1941 Эгельгаф был свидетелем первых мощнейших бомбардировок острова немецкой авиацией.
Пройдя мимо Мальты, 27.04. 1941 «Аэлла» встала на якорь в греческом Пирее. В этот же день в Афинах Эгельгаф встретился с высокопоставленными немецкими офицерами-танкистами из группы армий фельдмаршала В. Листа. По просьбе военных он прочел на ступенях Парфенона свою самую известную лекцию о греко-персидских войнах.
20.05.1941 Г. Эгельгаф участвовал в высадке немецкого десанта на о. Крит (см. Критская операция). После оккупации острова вместе с генералом К. Штудентом он посетил Кносский дворец. После критской операции ему было присвоено звание майора.
В разные годы Г. Эгельгаф возглавлял экспедиции немецких археологов в Палестину, Иран и Среднюю Азию.
В 1943 году возвращается в Европу, проживая в разных странах, чаще всего в оккупированной немцами Бельгии. Издает обнаруженные им во время экспедиций гностические тексты в типографии Плантена в Антверпене.
Г. Эгельгаф пропал без вести во время боев за Антверпен в сентябре 1944 года.
